Um pequeno pacote é lançado de uma altura h=1,80 m do solo com vetor velocidade inicial vo de módulo 5 m / s e que faz um ângulo de 60^circ com a horizontal por sobre um muro afastado de uma distância d=1,00 m do ponto de lançamento e de altura H=2,00 m. Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade g=10 m / s^2. Trate o pacote como uma partícula. Utilize o sistema de eixos dado na figura.
Determine a que altura h^prime do topo do muro o pacote irá passar e a distância D do muro até o ponto onde o pacote irá cair (despreze a largura do muro).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pacote lançado de uma altura de h = 1,80 , m com uma velocidade inicial de v0 = 5 , m/s, formando um ângulo de 60^circ com a horizontal. Esse pacote vai em direção a um muro que está a uma distância horizontal de d = 1,00 , m e tem uma altura de H = 2,00 , m. Queremos descobrir a que altura h' o pacote passa sobre o topo do muro e qual a distância D do muro até o ponto onde o pacote vai cair no chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado na física, decompondo a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e aplicando as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde theta = 60^circ. Então:
v0x = 5 cdot cos(60^circ) = 5 cdot 0,5 = 2,5 , m/s
v0y = 5 cdot sin(60^circ) = 5 cdot raiz32 approx 4,33 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que o pacote leva para alcançar horizontalmente a posição do muro, que está a d = 1,00 , m. Como o movimento horizontal é uniforme (sem aceleração), usamos:
t = dv0x = 1,002,5 = 0,4 , s

Passo 4

Com o tempo t = 0,4 , s, vamos descobrir a altura do pacote nesse instante usando a equação do movimento vertical:
h'(t) = h + v0y cdot t - 12 g t^2
Substituindo os valores:
h'(0,4) = 1,80 + 4,33 cdot 0,4 - 12 cdot 10 cdot (0,4)^2
h'(0,4) = 1,80 + 1,732 - 0,8 = 2,732 , m

Passo 5

Comparando a altura h' = 2,732 , m com a altura do muro H = 2,00 , m, vemos que h' > H. Isso significa que o pacote passa sobre o muro.

Passo 6

Agora, vamos determinar a distância D do muro até onde o pacote cairá no chão. Primeiro, precisamos encontrar o tempo total de voo até o pacote atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical quando h'(t) = 0:
0 = h + v0y cdot t - 12 g t^2
Substituindo os valores conhecidos:
0 = 1,80 + 4,33 t - 5 t^2
Resolvendo essa equação quadrática para t:
5 t^2 - 4,33 t - 1,80 = 0
Usando a fórmula quadrática:
t = 4,33 pm raiz(4,33)^2 + 4 cdot 5 cdot 1,802 cdot 5
t = 4,33 pm raiz18,7489 + 3610
t = 4,33 pm raiz54,748910
t = 4,33 pm 7,3910
Ignoramos a solução negativa, então:
t = 4,33 + 7,3910 = 11,7210 = 1,172 , s

Passo 7

Agora que temos o tempo total de voo ttotal = 1,172 , s, vamos calcular a distância horizontal total percorrida:
xtotal = v0x cdot ttotal = 2,5 cdot 1,172 approx 2,93 , m
A distância do muro até o ponto de queda é:
D = xtotal - d = 2,93 - 1,00 = 1,93 , m

Resposta

A altura h' em que o pacote passa sobre o topo do muro é de aproximadamente 2,73 , m, e a distância D do muro até o ponto onde o pacote cairá é de aproximadamente 1,93 , m.

Exercícios relacionados