Um pequeno pacote é lançado de uma altura do solo com vetor velocidade inicial de módulo e que faz um ângulo de com a horizontal por sobre um muro afastado de uma distância do ponto de lançamento e de altura . Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade . Trate o pacote como uma partícula. Utilize o sistema de eixos dado na figura.
Determine a que altura do topo do muro o pacote irá passar e a distância do muro até o ponto onde o pacote irá cair (despreze a largura do muro).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um pacote lançado de uma altura de com uma velocidade inicial de , formando um ângulo de com a horizontal. Esse pacote vai em direção a um muro que está a uma distância horizontal de e tem uma altura de . Queremos descobrir a que altura o pacote passa sobre o topo do muro e qual a distância do muro até o ponto onde o pacote vai cair no chão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento projetado na física, decompondo a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical e aplicando as equações do movimento uniformemente acelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas direções horizontal () e vertical (). Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso:
Onde . Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o tempo que o pacote leva para alcançar horizontalmente a posição do muro, que está a . Como o movimento horizontal é uniforme (sem aceleração), usamos:
Passo 4
Com o tempo , vamos descobrir a altura do pacote nesse instante usando a equação do movimento vertical:
Substituindo os valores:
Passo 5
Comparando a altura com a altura do muro , vemos que . Isso significa que o pacote passa sobre o muro.
Passo 6
Agora, vamos determinar a distância do muro até onde o pacote cairá no chão. Primeiro, precisamos encontrar o tempo total de voo até o pacote atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical quando :
Substituindo os valores conhecidos:
Resolvendo essa equação quadrática para :
Usando a fórmula quadrática:
Ignoramos a solução negativa, então:
Passo 7
Agora que temos o tempo total de voo , vamos calcular a distância horizontal total percorrida:
A distância do muro até o ponto de queda é:
Resposta
A altura em que o pacote passa sobre o topo do muro é de aproximadamente , e a distância do muro até o ponto onde o pacote cairá é de aproximadamente .