O perfil de velocidade u(x, y), na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:
u(x, y)V=32 yde
onde V é a velocidade do escoamento livre e a espessura da camada limite de é dada por:
de
a) Deduza uma expressão para o coeficiente local de arraste, CD, x=f(x).
b) Deduza uma expressão para o coeficiente médio de arraste, CD sobre uma distância x=L, a partir da borda frontal da placa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o perfil de velocidade u(x, y)V = 32 yde na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana, dado por:
de
E a espessura da camada limite é:
Conteúdo da matéria: Hidrodinâmica, especificamente escoamento laminar sobre placas planas e coeficientes de arraste.
O que precisamos para resolver:
  • Entender o que é o coeficiente de arraste local e o coeficiente médio de arraste .
  • Saber como relacionar o perfil de velocidade à força de arraste na placa.
  • Integrar os resultados ao longo da distância para obter o coeficiente médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de arraste local dF = mu ( partial upartial y )y=0 dy . Ele representa a força de arraste por unidade de área exercida pelo escoamento na placa em uma posição específica .
A força de arraste em uma pequena área na placa pode ser relacionada ao gradiente de velocidade na camada limite. Usamos a seguinte relação:
Aqui, é a viscosidade do fluido, e é o gradiente de velocidade na superfície da placa (onde ).

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de velocidade na superfície da placa. Derivando u(x, y) = V ( 32 yde em relação a partial upartial y = V ( 32 1de:
( partial upartial y )y=0 = V ( 32 1de
Derivando:
Na superfície da placa ( ):

Passo 4

Agora, substituímos o gradiente na expressão da força de arraste:
dF = mu ( 3V2de
O coeficiente de arraste local CD,x = dF12 rho V^2 cdot área é definido como:
CD,x = mu ( 3V2deá
Considerando a área , temos:

Passo 5

Sabemos que a viscosidade cinemática CD,x = 3 nuV de é de. Substituindo na expressão:
CD,x = 3 nuV raiz280 x nu13 V = 3 nuV cdot raiz13 V280 x nu = 3 raiz13 nu280 V x
Agora, substituímos CD,x = 3 raiz13280 cdot raiznuV x = raiz117280 cdot raiznuV x approx 0.648 cdot raiznuV x pela expressão fornecida:
Portanto:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A expressão para o coeficiente local de arraste é:
CD,x = 3 raiz13 nu280 V x approx 0.648 cdot raiznuV x

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