O perfil de velocidade , na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:
onde é a velocidade do escoamento livre e a espessura da camada limite é dada por:
a) Deduza uma expressão para o coeficiente local de arraste, .
b) Deduza uma expressão para o coeficiente médio de arraste, sobre uma distância , a partir da borda frontal da placa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o perfil de velocidade na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana, dado por:
E a espessura da camada limite é:
Conteúdo da matéria: Hidrodinâmica, especificamente escoamento laminar sobre placas planas e coeficientes de arraste.
O que precisamos para resolver:
  • Entender o que é o coeficiente de arraste local e o coeficiente médio de arraste .
  • Saber como relacionar o perfil de velocidade à força de arraste na placa.
  • Integrar os resultados ao longo da distância para obter o coeficiente médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de arraste local . Ele representa a força de arraste por unidade de área exercida pelo escoamento na placa em uma posição específica .
A força de arraste em uma pequena área na placa pode ser relacionada ao gradiente de velocidade na camada limite. Usamos a seguinte relação:
Aqui, é a viscosidade do fluido, e é o gradiente de velocidade na superfície da placa (onde ).

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de velocidade na superfície da placa. Derivando em relação a :
Derivando:
Na superfície da placa ( ):

Passo 4

Agora, substituímos o gradiente na expressão da força de arraste:
O coeficiente de arraste local é definido como:
á
Considerando a área , temos:

Passo 5

Sabemos que a viscosidade cinemática é . Substituindo na expressão:
Agora, substituímos pela expressão fornecida:
Portanto:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

A expressão para o coeficiente local de arraste é:

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