O perfil de velocidade
, na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana é dado por:
onde
é a velocidade do escoamento livre e a espessura da camada limite
é dada por:
a) Deduza uma expressão para o coeficiente local de arraste,
.
b) Deduza uma expressão para o coeficiente médio de arraste,
sobre uma distância
, a partir da borda frontal da placa.
b) Deduza uma expressão para o coeficiente médio de arraste,
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o perfil de velocidade
na camada limite de um escoamento sobre uma placa plana, dado por:
E a espessura da camada limite
é:
Conteúdo da matéria: Hidrodinâmica, especificamente escoamento laminar sobre placas planas e coeficientes de arraste.
O que precisamos para resolver:
- Entender o que é o coeficiente de arraste local
e o coeficiente médio de arraste . - Saber como relacionar o perfil de velocidade à força de arraste na placa.
- Integrar os resultados ao longo da distância para obter o coeficiente médio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de arraste local
. Ele representa a força de arraste por unidade de área exercida pelo escoamento na placa em uma posição específica
.
A força de arraste
em uma pequena área
na placa pode ser relacionada ao gradiente de velocidade na camada limite. Usamos a seguinte relação:
Aqui,
é a viscosidade do fluido, e
é o gradiente de velocidade na superfície da placa (onde
).
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de velocidade na superfície da placa. Derivando
em relação a
:
Derivando:
Na superfície da placa (
):
Passo 4
Agora, substituímos o gradiente na expressão da força de arraste:
O coeficiente de arraste local
é definido como:
Considerando a área
, temos:
Passo 5
Sabemos que a viscosidade cinemática
é
. Substituindo na expressão:
Agora, substituímos
pela expressão fornecida:
Portanto:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A expressão para o coeficiente local de arraste é: