A tensão de escoamento do cobre de berílio tratado termicamente é sigmae=900 MPa. Se esse material estiver sujeito ao estado plano de tensão e uma falha elástica ocorre quando uma tensão principal for 1000 MPa , qual é menor valor da outra tensão principal? Use a teoria de energia de distorção máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a tensão de escoamento do cobre de berílio tratado termicamente, que é sigmae = 900 MPa. A gente precisa descobrir qual é o menor valor da outra tensão principal quando uma das tensões principais atinge 1000 MPa, usando a teoria de energia de distorção máxima. Basicamente, estamos lidando com resistência dos materiais e como eles falham sob certas tensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a teoria de energia de distorção máxima, também conhecida como critério de von Mises. Essa teoria nos ajuda a prever quando um material vai começar a deformar plasticamente, ou seja, quando ele vai sofrer uma deformação permanente. A ideia é que a falha acontece quando a energia de distorção no material atinge um certo limite, que no nosso caso é a tensão de escoamento sigmae.
Para o estado de tensão plano, onde uma das tensões principais é zero ( sigma3 = 0), a fórmula do critério de von Mises fica assim:
sigmav = raizsigma1^2 - sigma1 sigma2 + sigma2^2
Aqui, sigmav é a tensão de von Mises, e sigma1 e sigma2 são as tensões principais.

Passo 3

Sabemos que a falha elástica ocorre quando a tensão de von Mises iguala a tensão de escoamento. Então, temos:
sigmav = sigmae = 900 MPa
E uma das tensões principais é sigma1 = 1000 MPa. Queremos encontrar o menor valor possível de sigma2 que ainda satisfaça essa condição.

Passo 4

Vamos substituir os valores que conhecemos na equação do critério de von Mises:
900 = raiz1000^2 - 1000 times sigma2 + sigma2^2
Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
900^2 = 1000^2 - 1000 sigma2 + sigma2^2
Calculando os quadrados:
810000 = 1000000 - 1000 sigma2 + sigma2^2
Agora, vamos reorganizar a equação para deixar tudo de um lado:
sigma2^2 - 1000 sigma2 + (1000000 - 810000) = 0
Simplificando:
sigma2^2 - 1000 sigma2 + 190000 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma ax^2 + bx + c = 0, onde:
  • a = 1
  • b = -1000
  • c = 190000
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
sigma2 = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
sigma2 = 1000 pm raiz1000^2 - 4 times 1 times 1900002
Calculando dentro da raiz:
raiz1000000 - 760000 = raiz240000 approx 489.90
Então, temos duas soluções:
sigma2 = 1000 + 489.902 approx 744.95 MPa
sigma2 = 1000 - 489.902 approx 255.05 MPa
Como queremos o menor valor de sigma2, escolheremos 255.05 MPa.

Resposta

O menor valor da outra tensão principal é aproximadamente 255.05 MPa.

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