A tensão de escoamento do cobre de berílio tratado termicamente é
. Se esse material estiver sujeito ao estado plano de tensão e uma falha elástica ocorre quando uma tensão principal for 1000 MPa , qual é menor valor da outra tensão principal? Use a teoria de energia de distorção máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a tensão de escoamento do cobre de berílio tratado termicamente, que é
. A gente precisa descobrir qual é o menor valor da outra tensão principal quando uma das tensões principais atinge
, usando a teoria de energia de distorção máxima. Basicamente, estamos lidando com resistência dos materiais e como eles falham sob certas tensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a teoria de energia de distorção máxima, também conhecida como critério de von Mises. Essa teoria nos ajuda a prever quando um material vai começar a deformar plasticamente, ou seja, quando ele vai sofrer uma deformação permanente. A ideia é que a falha acontece quando a energia de distorção no material atinge um certo limite, que no nosso caso é a tensão de escoamento
.
Para o estado de tensão plano, onde uma das tensões principais é zero (
), a fórmula do critério de von Mises fica assim:
Aqui,
é a tensão de von Mises, e
e
são as tensões principais.
Passo 3
Sabemos que a falha elástica ocorre quando a tensão de von Mises iguala a tensão de escoamento. Então, temos:
E uma das tensões principais é
. Queremos encontrar o menor valor possível de
que ainda satisfaça essa condição.
Passo 4
Vamos substituir os valores que conhecemos na equação do critério de von Mises:
Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando os quadrados:
Agora, vamos reorganizar a equação para deixar tudo de um lado:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática na forma
, onde:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
Substituindo os valores:
Calculando dentro da raiz:
Então, temos duas soluções:
Como queremos o menor valor de
, escolheremos
.
Resposta
O menor valor da outra tensão principal é aproximadamente
.