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Um fio de arame fino e homogêneo é dobrado na forma de uma semi-circunferência de raio R. Calcule a posição do centro de massa desse fio.
Um fio de arame fino e homogêneo é dobrado na forma de uma semi-circunferência de raio R. Calcule a posição do centro de massa desse fio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um fio de arame que é dobrado em forma de semi-circunferência com raio $ R $. O objetivo aqui é descobrir onde fica o centro de massa desse fio. Vamos usar conceitos de estática e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa é o ponto onde você pode considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Para objetos contínuos, como esse fio, calculamos o centro de massa usando integrais.
Passo 3
Como o fio é simétrico em relação ao eixo vertical, sabemos que a coordenada $ x $ do centro de massa será zero. Então, só precisamos encontrar a coordenada $ y $.
Passo 4
Vamos parametrizar a semi-circunferência usando o ângulo $ \theta $, onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $. As coordenadas de qualquer ponto no fio serão:
Passo 5
A fórmula para a coordenada $ y $ do centro de massa é:
Aqui, $ ds $ é um elemento de comprimento do fio.
Passo 6
Para uma circunferência, $ ds = R d\theta $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 7
Calculando as integrais:
Então:
Resposta
O centro de massa do fio está localizado a uma distância $ \frac{2R}{\pi} $ acima do centro da circunferência.