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    Um fio de arame fino e homogêneo é dobrado na forma de uma semi-circunferência de raio R. Calcule a posição do centro de massa desse fio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um fio de arame que é dobrado em forma de semi-circunferência com raio $ R $. O objetivo aqui é descobrir onde fica o centro de massa desse fio. Vamos usar conceitos de estática e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa é o ponto onde você pode considerar que toda a massa do objeto está concentrada. Para objetos contínuos, como esse fio, calculamos o centro de massa usando integrais.

Passo 3

Como o fio é simétrico em relação ao eixo vertical, sabemos que a coordenada $ x $ do centro de massa será zero. Então, só precisamos encontrar a coordenada $ y $.

Passo 4

Vamos parametrizar a semi-circunferência usando o ângulo $ \theta $, onde $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \pi $. As coordenadas de qualquer ponto no fio serão:
theta
theta

Passo 5

A fórmula para a coordenada $ y $ do centro de massa é:
y
Aqui, $ ds $ é um elemento de comprimento do fio.

Passo 6

Para uma circunferência, $ ds = R d\theta $. Então, substituindo na fórmula:
ds = R dtheta

Passo 7

Calculando as integrais:
integral0^pi sin theta , dtheta = 2
integral0^pi dtheta = pi
Então:
bary = R^2 cdot 2R pi = 2Rpi

Resposta

O centro de massa do fio está localizado a uma distância $ \frac{2R}{\pi} $ acima do centro da circunferência.

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