Sejam
e
conjuntos de números naturais com
e
. Quantas são as funções
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando quantas funções existem de um conjunto
para um conjunto
, onde
tem
elementos e
tem
elementos. A matéria que vamos usar aqui é combinatória, especificamente o conceito de funções entre conjuntos. Para resolver, precisamos entender como contar todas as possíveis maneiras de associar cada elemento de
a um elemento de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função
é uma regra que associa cada elemento de
a exatamente um elemento de
. Isso significa que, para cada elemento em
, temos que escolher um elemento em
.
Passo 3
Agora, como contar todas essas associações? Para cada um dos
elementos em
, temos
opções de onde ele pode ser mapeado em
. Isso significa que para o primeiro elemento de
, temos
possibilidades, para o segundo também temos
, e assim por diante, até o
-ésimo elemento.
Passo 4
Quando temos múltiplas escolhas independentes, a quantidade total de combinações é o produto das possibilidades de cada escolha. Portanto, multiplicamos
por ele mesmo
vezes. Em termos matemáticos, isso é representado por
.
Resposta
O número de funções
é
.