Sejam e conjuntos de números naturais com e . Quantas são as funções ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando quantas funções existem de um conjunto para um conjunto , onde tem elementos e tem elementos. A matéria que vamos usar aqui é combinatória, especificamente o conceito de funções entre conjuntos. Para resolver, precisamos entender como contar todas as possíveis maneiras de associar cada elemento de a um elemento de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função. Uma função é uma regra que associa cada elemento de a exatamente um elemento de . Isso significa que, para cada elemento em , temos que escolher um elemento em .

Passo 3

Agora, como contar todas essas associações? Para cada um dos elementos em , temos opções de onde ele pode ser mapeado em . Isso significa que para o primeiro elemento de , temos possibilidades, para o segundo também temos , e assim por diante, até o -ésimo elemento.

Passo 4

Quando temos múltiplas escolhas independentes, a quantidade total de combinações é o produto das possibilidades de cada escolha. Portanto, multiplicamos por ele mesmo vezes. Em termos matemáticos, isso é representado por .

Resposta

O número de funções é .

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