Sejam e conjuntos de números naturais com e . Quantas são as funções crescentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me perguntou quantas funções crescentes existem, sendo que os conjuntos e têm, respectivamente, e elementos. Para resolver isso, vamos usar combinatória, que é a área da matemática que estuda as contagens e arranjos possíveis de objetos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função crescente. Uma função é chamada de crescente se, sempre que em , então em . Como e são conjuntos de números naturais, podemos pensar neles como conjuntos ordenados de forma crescente.

Passo 3

Para contar essas funções crescentes, podemos imaginar que estamos escolhendo elementos em , permitindo repetições, e mantendo a ordem crescente. Isso é equivalente a contar o número de combinações com repetição.

Passo 4

A fórmula para calcular combinações com repetição é dada por:
Onde:
  • é o número de elementos no conjunto .
  • é o número de elementos no conjunto .

Passo 5

Aplicando essa fórmula ao nosso problema, temos que o número de funções crescentes é igual a:

Resposta

O número de funções crescentes é dado por .

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