Sejam
e
conjuntos de números naturais com
e
. Quantas são as funções
crescentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me perguntou quantas funções
crescentes existem, sendo que os conjuntos
e
têm, respectivamente,
e
elementos. Para resolver isso, vamos usar combinatória, que é a área da matemática que estuda as contagens e arranjos possíveis de objetos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função crescente. Uma função
é chamada de crescente se, sempre que
em
, então
em
. Como
e
são conjuntos de números naturais, podemos pensar neles como conjuntos ordenados de forma crescente.
Passo 3
Para contar essas funções crescentes, podemos imaginar que estamos escolhendo
elementos em
, permitindo repetições, e mantendo a ordem crescente. Isso é equivalente a contar o número de combinações com repetição.
Passo 4
A fórmula para calcular combinações com repetição é dada por:
Onde:
-
é o número de elementos no conjunto . -
é o número de elementos no conjunto .
Passo 5
Aplicando essa fórmula ao nosso problema, temos que o número de funções crescentes
é igual a:
Resposta
O número de funções
crescentes é dado por
.