O peso de um astronauta pode ser monitorado por meio da expressão W = 100 ( 5200 5200 + x ) 2 , onde W é o peso (kg) e x é a distância até o nível do mar (km). Determine o valor da variação do peso com o tempo, em kg/s, para uma velocidade de 1 , 2 K m / s e altura de 2000 K m .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma fórmula que relaciona o peso de um astronauta ($ W
x $). A fórmula é:
A pergunta quer saber qual é a variação do peso ($ W
t $), ou seja, $ \frac{dW}{dt} $, quando o astronauta está a uma altura de 2000 km e se movimenta a uma velocidade de 1,2 km/s. Para resolver isso, a gente vai usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variáveis e o que conhecemos:
- $ W = \frac{100 (5200 - x)}{(5200 + x)^2} $ é a função que relaciona o peso com a altura.
- $ x = 2000 $ km é a altura atual.
- $ \frac{dx}{dt} = 1,2 $ km/s é a velocidade de subida do astronauta.
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dW}{dt} $, que é a taxa de variação do peso com o tempo.
Passo 3
Para encontrar $ \frac{dW}{dt} $, precisamos derivar $ W $ em relação a $ t $. Como $ W $ é uma função de $ x $, que por sua vez depende de $ t $, usamos a regra da cadeia:
Então, primeiro vamos calcular $ \frac{dW}{dx} $.
Passo 4
Vamos derivar $ W $ em relação a $ x $:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Podemos fatorar -100:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expanda $ (5200 + x)^2 $:
E $ 2(5200 - x)(5200 + x) $:
Somando os dois termos:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na derivada:
Passo 7
Agora, podemos calcular $ \frac{dW}{dt} $ usando a regra da cadeia:
Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = 1,2 $ km/s e $ x = 2000 $ km. Vamos substituir esses valores na expressão.
Passo 8
Primeiro, calculamos o numerador da derivada em $ x = 2000 $ km:
Calculando cada termo:
- $ 3 \times 5200^2 = 3 \times 27,040,000 = 81,120,000 $
- $ 2 \times 5200 \times 2000 = 20,800,000 $
- $ 2000^2 = 4,000,000 $
Somando:
Passo 9
Agora, substituímos na expressão da derivada:
Calculando o denominador:
Passo 10
Agora, calculamos $ \frac{dW}{dx} $:
Passo 11
Finalmente, multiplicamos pela velocidade $ \frac{dx}{dt} = 1,2 $ km/s:
Resposta
A variação do peso com o tempo é aproximadamente $ -4,38 \times 10^{-6} $ kg/s.