O peso de um astronauta pode ser monitorado por meio da expressão W = 100 ( 5200 5200 + x ) 2 , onde W é o peso (kg) e x é a distância até o nível do mar (km). Determine o valor da variação do peso com o tempo, em kg/s, para uma velocidade de 1 , 2 K m / s e altura de 2000 K m .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma fórmula que relaciona o peso de um astronauta ($ W W âéí x $). A fórmula é:
x
A pergunta quer saber qual é a variação do peso ($ W W = 100 times (5200 - x)(5200 + x)^2 çã t $), ou seja, $ \frac{dW}{dt} $, quando o astronauta está a uma altura de 2000 km e se movimenta a uma velocidade de 1,2 km/s. Para resolver isso, a gente vai usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variáveis e o que conhecemos:
  • $ W = \frac{100 (5200 - x)}{(5200 + x)^2} $ é a função que relaciona o peso com a altura.
  • $ x = 2000 $ km é a altura atual.
  • $ \frac{dx}{dt} = 1,2 $ km/s é a velocidade de subida do astronauta.
Nosso objetivo é encontrar $ \frac{dW}{dt} $, que é a taxa de variação do peso com o tempo.

Passo 3

Para encontrar $ \frac{dW}{dt} $, precisamos derivar $ W $ em relação a $ t $. Como $ W $ é uma função de $ x $, que por sua vez depende de $ t $, usamos a regra da cadeia:
dWdt
Então, primeiro vamos calcular $ \frac{dW}{dx} $.

Passo 4

Vamos derivar $ W $ em relação a $ x $:
W
Usando a regra do quociente:
x
Simplificando:
W = 100 (5200 - x)(5200 + x)^2
Podemos fatorar -100:
dWdx = (5200 + x)^2 times (-100) - 100 (5200 - x) times 2(5200 + x)(5200 + x)^4

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expanda $ (5200 + x)^2 $:
(5200 + x)^2
E $ 2(5200 - x)(5200 + x) $:
(5200 + x)^2 = 5200^2 + 2 times 5200 times x + x^2
Somando os dois termos:
2(5200 - x)(5200 + x)

Passo 6

Agora, substituímos de volta na derivada:
dWdx = -100 (3 times 5200^2 + 2 times 5200 times x - x^2)(5200 + x)^4

Passo 7

Agora, podemos calcular $ \frac{dW}{dt} $ usando a regra da cadeia:
dWdt
Sabemos que $ \frac{dx}{dt} = 1,2 $ km/s e $ x = 2000 $ km. Vamos substituir esses valores na expressão.

Passo 8

Primeiro, calculamos o numerador da derivada em $ x = 2000 $ km:
x = 2000
Calculando cada termo:
  • $ 3 \times 5200^2 = 3 \times 27,040,000 = 81,120,000 $
  • $ 2 \times 5200 \times 2000 = 20,800,000 $
  • $ 2000^2 = 4,000,000 $
Somando:
3 times 5200^2 + 2 times 5200 times 2000 - 2000^2

Passo 9

Agora, substituímos na expressão da derivada:
dWdx = -100 times 97,920,000(5200 + 2000)^4
Calculando o denominador:
5200 + 2000 = 7200
7200^4 = 7200 times 7200 times 7200 times 7200 = 2.68435456 times 10^15

Passo 10

Agora, calculamos $ \frac{dW}{dx} $:
dWdx
dWdx = -100 times 97,920,0002.68435456 times 10^15
dWdx approx -9.792 times 10^92.68435456 times 10^15

Passo 11

Finalmente, multiplicamos pela velocidade $ \frac{dx}{dt} = 1,2 $ km/s:
dxdt = 1,2
dWdt = -3.647 times 10^-6 times 1,2

Resposta

A variação do peso com o tempo é aproximadamente $ -4,38 \times 10^{-6} $ kg/s.

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