Um pesquisador encontrou em suas investigações a seguinte relação entre os valores de x e Y :
x 1 3 5 7 \cdots
y 4 8 16 32 \cdots
Que tipo de função expressa y em função de x ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela relacionando os valores de x e y. A pergunta é para descobrir que tipo de função relaciona y em função de x. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções exponenciais e analisar como os valores de y mudam conforme x varia.

Passo 2

Primeiro, vamos observar como y muda com x. Olhando a tabela:
  • Quando x = 1,
  • Quando ,
  • Quando ,
  • Quando ,
Percebemos que conforme x aumenta de 2 em 2, o valor de y dobra. Isso é uma característica típica de uma função exponencial, onde a variável está no expoente.

Passo 3

Para definir a função, vamos assumir que ela tem a forma geral de uma função exponencial:
Onde:
  • a é a constante inicial,
  • b é a base exponencial.

Passo 4

Vamos determinar os valores de a e b usando os pontos da tabela. Tomemos os dois primeiros pontos:
  1. Para x = 1, :
  1. Para , :

Passo 5

Dividindo a equação (2) pela equação (1) para eliminar a:
Então,

Passo 6

Agora que temos , substituímos na equação (1) para encontrar a:

Passo 7

Agora, podemos escrever a função completa:

Resposta

A função que expressa y em função de x é uma função exponencial dada por:

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