Problema 2.- Em um piquenique familiar, você foi encarregado de empurrar seu primo, João, em um balanço. Seu peso é o comprimento da corrente é e você empurra Joào até que as correntes formem um ângulo com a vertical. Para isso, você empurra com uma força horizontal variável que começa em zero e cresce gradualmente até um valor suficiente para que João e o balanço movam-se lentamente e permaneçam aproximadamente em equilíbrio. (a) Usando a definição de trabalho, calcule o trabalho total realizado por tudas as forças sobre Joano?. (b) Use us teoremas de trabalho e energia para verificar o resultado anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem que calcular o trabalho total realizado por todas as forças sobre o João enquanto ele está sendo empurrado no balanço. Vamos usar conceitos de trabalho e energia da física. Para isso, vamos precisar entender as forças envolvidas no movimento do balanço e aplicar a definição de trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam sobre o João quando ele está no balanço:
  1. Peso ( ): A força da gravidade que puxa o João para baixo.
  2. Tensão das correntes ( ): A força que as correntes do balanço exercem para manter João em equilíbrio.
  3. Força de empurrão ( ): A força horizontal que você aplica para empurrar o balanço.
Vamos desenhar um diagrama de corpo livre para visualizar melhor essas forças.

Passo 3

Para calcular o trabalho total, vamos usar a definição de trabalho:
Isso significa que o trabalho é a integral do produto escalar da força pela deslocamento. No nosso caso, vamos calcular o trabalho de cada força individualmente e depois somar tudo.

Passo 4

Vamos calcular o trabalho de cada força:
  1. Trabalho da força de empurrão ( ):
    Como a força é horizontal e João se desloca horizontalmente até o ângulo , o trabalho realizado por essa força é:
    Onde é o deslocamento horizontal. Sabemos que:
    Então:
  2. Trabalho da força da gravidade ( ):
    A força da gravidade atua verticalmente para baixo, enquanto o deslocamento é horizontal. Como essas duas forças são perpendiculares, o trabalho realizado pela gravidade é zero:
  3. Trabalho da tensão nas correntes ( ):
    A tensão nas correntes tem uma componente vertical que equilibra o peso e uma componente horizontal que equilibra a força de empurrão. A direção da força de tensão é ao longo das correntes, e o deslocamento é horizontal. O ângulo entre a tensão e o deslocamento é .
    Então:
    Mas como o balanço está em equilíbrio, a componente horizontal da tensão é igual e oposta à força de empurrão:
    Portanto:

Passo 5

Agora, vamos somar todos os trabalhos realizados pelas forças:

Resposta

O trabalho total realizado por todas as forças sobre o João é:

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