Uma pessoa lança uma bola (com um ângulo de sua escolha, para atingir uma máxima distância) com velocidade
da beira de um penhasco de altura
. Supondo que uma das seguintes respostas seja a distância horizontal máxima que a bola pode viajar, qual é? (Não resolva o problema do zero, apenas verifique os casos especiais.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma pergunta de física que fala sobre lançar uma bola de um penhasco com uma certa velocidade
e queremos descobrir qual das opções dadas representa a distância horizontal máxima que a bola pode percorrer. Vamos precisar usar conceitos de movimento projectile (lançamento de projéteis) e analisar algumas situações especiais para verificar qual fórmula está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar numa situação bem simples: e se o penhasco não tivesse altura, ou seja,
? Nesse caso, o lançamento seria do nível do solo, e sabemos que a distância máxima em um lançamento horizontal sem altura é dada por
. Vamos verificar qual das opções coincide com isso quando
.
Passo 3
Vamos substituir
em cada uma das opções:
-
→ → Não corresponde. -
→ Permanece → Isso coincide com o que sabemos. -
→ → Não corresponde. -
→ → Correto. -
→ → Também correto. -
→ → Correto.
Até aqui, as opções 2, 4, 5 e 6 atendem ao caso quando
.
Passo 4
Agora, vamos considerar outro caso especial: se a altura do penhasco
for muito grande, ou seja,
. Nesse cenário, a distância horizontal máxima também deveria aumentar. Vamos ver como cada fórmula se comporta:
-
→ Vai para infinito → Pode fazer sentido. -
→ Fica constante → Não faz sentido, pois a distância deveria aumentar. -
→ Vai para infinito → Pode fazer sentido. -
→ Vai para infinito → Pode fazer sentido. -
→ Vai para infinito → Pode fazer sentido. -
→ Quando aumenta, o denominador fica negativo e próximo de zero, o que resultaria em um valor negativo ou não definido → Não faz sentido.
Dessa forma, a opção 6 não é válida.
Passo 5
Vamos agora analisar o caso quando
aumenta. A distância horizontal máxima, intuitivamente, deveria aumentar com a altura do penhasco. Observando as opções restantes:
- A opção 2 (
) não considera o , então não aumenta com a altura. - As opções 4 e 5 adicionam termos que aumentam com
, fazendo a distância aumentar conforme o penhasco fica mais alto. - A opção 1 já descartamos anteriormente pois não corresponde ao caso
.
Passo 6
Entre as opções restantes (4 e 5), vamos verificar qual delas é mais consistente com as leis do movimento projetil. A distância horizontal máxima para um lançamento de um penhasco pode ser derivada considerando o tempo de queda e a velocidade horizontal. A fórmula correta que incorpora tanto a velocidade quanto a altura do penhasco é:
Isso porque ela considera o aumento na distância devido à altura adicional que a bola tem para percorrer horizontalmente enquanto está caindo.
Resposta
A distância horizontal máxima é dada por
.
Exercícios relacionados
We use the functional notation
and
and find the latter two quantities by differentiating:
with SI units understood. These expressions are used in the parts that follow.
(a) From , we see that the only positive value of
for which the particle is (momentarily) stopped is
.
(a) From
We use Eq. 2-2 for average velocity and Eq. 2-4 for instantaneous velocity, and work with distances in centimeters and times in seconds.
© At , the instantaneous velocity is
.
© At
The values used in the problem statement make it easy to see that the first part of the trip (at
) takes 1 hour, and the second part (at
) also takes 1 hour. Expressed in decimal form, the time left is 1.25 hour, and the distance that remains is 160 km . Thus, a speed
is needed.