Uma pessoa lança uma bola (com um ângulo de sua escolha, para atingir uma máxima distância) com velocidade da beira de um penhasco de altura . Supondo que uma das seguintes respostas seja a distância horizontal máxima que a bola pode viajar, qual é? (Não resolva o problema do zero, apenas verifique os casos especiais.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma pergunta de física que fala sobre lançar uma bola de um penhasco com uma certa velocidade e queremos descobrir qual das opções dadas representa a distância horizontal máxima que a bola pode percorrer. Vamos precisar usar conceitos de movimento projectile (lançamento de projéteis) e analisar algumas situações especiais para verificar qual fórmula está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar numa situação bem simples: e se o penhasco não tivesse altura, ou seja, ? Nesse caso, o lançamento seria do nível do solo, e sabemos que a distância máxima em um lançamento horizontal sem altura é dada por . Vamos verificar qual das opções coincide com isso quando .

Passo 3

Vamos substituir em cada uma das opções:
  1. → Não corresponde.
  2. → Permanece → Isso coincide com o que sabemos.
  3. → Não corresponde.
  4. → Correto.
  5. → Também correto.
  6. → Correto.
Até aqui, as opções 2, 4, 5 e 6 atendem ao caso quando .

Passo 4

Agora, vamos considerar outro caso especial: se a altura do penhasco for muito grande, ou seja, . Nesse cenário, a distância horizontal máxima também deveria aumentar. Vamos ver como cada fórmula se comporta:
  1. → Vai para infinito → Pode fazer sentido.
  2. → Fica constante → Não faz sentido, pois a distância deveria aumentar.
  3. → Vai para infinito → Pode fazer sentido.
  4. → Vai para infinito → Pode fazer sentido.
  5. → Vai para infinito → Pode fazer sentido.
  6. → Quando aumenta, o denominador fica negativo e próximo de zero, o que resultaria em um valor negativo ou não definido → Não faz sentido.
Dessa forma, a opção 6 não é válida.

Passo 5

Vamos agora analisar o caso quando aumenta. A distância horizontal máxima, intuitivamente, deveria aumentar com a altura do penhasco. Observando as opções restantes:
  • A opção 2 ( ) não considera o , então não aumenta com a altura.
  • As opções 4 e 5 adicionam termos que aumentam com , fazendo a distância aumentar conforme o penhasco fica mais alto.
  • A opção 1 já descartamos anteriormente pois não corresponde ao caso .

Passo 6

Entre as opções restantes (4 e 5), vamos verificar qual delas é mais consistente com as leis do movimento projetil. A distância horizontal máxima para um lançamento de um penhasco pode ser derivada considerando o tempo de queda e a velocidade horizontal. A fórmula correta que incorpora tanto a velocidade quanto a altura do penhasco é:
Isso porque ela considera o aumento na distância devido à altura adicional que a bola tem para percorrer horizontalmente enquanto está caindo.

Resposta

A distância horizontal máxima é dada por .

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with SI units understood. These expressions are used in the parts that follow.
(a) From , we see that the only positive value of for which the particle is (momentarily) stopped is .
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© At , the instantaneous velocity is .
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