Uma pessoa lança uma bola (com um ângulo de sua escolha, para atingir uma máxima distância) com velocidade v da beira de um penhasco de altura h. Supondo que uma das seguintes respostas seja a distância horizontal máxima que a bola pode viajar, qual é? (Não resolva o problema do zero, apenas verifique os casos especiais.)
g h^2v^2, v^2g, raizv^2 hg, v^2g raiz1+2 g hv^2, v^2g(1+2 g hv^2), v^2g(1-2 g hv^2)^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma pergunta de física que fala sobre lançar uma bola de um penhasco com uma certa velocidade v e queremos descobrir qual das opções dadas representa a distância horizontal máxima que a bola pode percorrer. Vamos precisar usar conceitos de movimento projectile (lançamento de projéteis) e analisar algumas situações especiais para verificar qual fórmula está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar numa situação bem simples: e se o penhasco não tivesse altura, ou seja, h = 0? Nesse caso, o lançamento seria do nível do solo, e sabemos que a distância máxima em um lançamento horizontal sem altura é dada por v^2g. Vamos verificar qual das opções coincide com isso quando h = 0.

Passo 3

Vamos substituir h = 0 em cada uma das opções:
  1. g h^2v^2 g cdot 0v^2 = 0 → Não corresponde.
  2. v^2g → Permanece v^2g → Isso coincide com o que sabemos.
  3. raizv^2 hg raiz0 = 0 → Não corresponde.
  4. v^2g raiz1+2 g hv^2 v^2g raiz1+0 = v^2g → Correto.
  5. v^2g(1+2 g hv^2) v^2g(1+0) = v^2g → Também correto.
  6. v^2g(1-2 g hv^2)^-1 v^2g(1-0)^-1 = v^2g → Correto.
Até aqui, as opções 2, 4, 5 e 6 atendem ao caso quando h = 0.

Passo 4

Agora, vamos considerar outro caso especial: se a altura do penhasco h for muito grande, ou seja, h to infty. Nesse cenário, a distância horizontal máxima também deveria aumentar. Vamos ver como cada fórmula se comporta:
  1. g h^2v^2 → Vai para infinito → Pode fazer sentido.
  2. v^2g → Fica constante → Não faz sentido, pois a distância deveria aumentar.
  3. raizv^2 hg → Vai para infinito → Pode fazer sentido.
  4. v^2g raiz1+2 g hv^2 → Vai para infinito → Pode fazer sentido.
  5. v^2g(1+2 g hv^2) → Vai para infinito → Pode fazer sentido.
  6. v^2g(1-2 g hv^2)^-1 → Quando h aumenta, o denominador fica negativo e próximo de zero, o que resultaria em um valor negativo ou não definido → Não faz sentido.
Dessa forma, a opção 6 não é válida.

Passo 5

Vamos agora analisar o caso quando h aumenta. A distância horizontal máxima, intuitivamente, deveria aumentar com a altura do penhasco. Observando as opções restantes:
  • A opção 2 ( v^2g) não considera o h, então não aumenta com a altura.
  • As opções 4 e 5 adicionam termos que aumentam com h, fazendo a distância aumentar conforme o penhasco fica mais alto.
  • A opção 1 já descartamos anteriormente pois não corresponde ao caso h=0.

Passo 6

Entre as opções restantes (4 e 5), vamos verificar qual delas é mais consistente com as leis do movimento projetil. A distância horizontal máxima para um lançamento de um penhasco pode ser derivada considerando o tempo de queda e a velocidade horizontal. A fórmula correta que incorpora tanto a velocidade quanto a altura do penhasco é:
v^2g(1+2 g hv^2)
Isso porque ela considera o aumento na distância devido à altura adicional que a bola tem para percorrer horizontalmente enquanto está caindo.

Resposta

A distância horizontal máxima é dada por v^2g(1+2 g hv^2).

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