We use the functional notation x(t), v(t) and a(t) and find the latter two quantities by differentiating:
v(t)=d x(t)t=-15 t^2+20 and a(t)=d v(t)d t=-30 t
with SI units understood. These expressions are used in the parts that follow.
(a) From 0=-15 t^2+20, we see that the only positive value of t for which the particle is (momentarily) stopped is t=raiz20 / 15=1.2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre as funções de posição x(t), velocidade v(t) e aceleração a(t) de uma partícula ao longo do tempo. Nosso objetivo aqui é encontrar o instante em que a velocidade da partícula é zero, ou seja, quando ela para momentaneamente. Para isso, vamos precisar entender como a derivação funciona nas funções de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade v(t). Ela é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, v(t) = dx(t)dt. No enunciado, já temos a expressão da velocidade:
v(t) = -15 t^2 + 20
Isso nos diz como a velocidade da partícula muda ao longo do tempo.

Passo 3

Para encontrar o momento em que a partícula está parada, precisamos encontrar o valor de t onde a velocidade v(t) é igual a zero:
v(t) = 0
Então, colocamos a expressão da velocidade igual a zero:
-15 t^2 + 20 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar t. Primeiro, isolamos o termo com t^2:
-15 t^2 = -20
Dividindo ambos os lados por -15:
t^2 = 2015
Simplificando a fração:
t^2 = 43

Passo 5

Para encontrar t, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
t = raiz43
Calculando o valor numérico:
t approx 1.15 , segundos

Passo 6

Como estamos lidando com tempo, consideramos apenas a solução positiva:
t approx 1.2 , segundos

Resposta

O instante em que a partícula está momentaneamente parada é aproximadamente t = 1.2 , segundos.

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