Uma pessoa lança a bola branca (bola 1) com velocidade v1=4 m / s em direção à uma bola preta (bola 2) que está parada ( v2=0 ). A bola 1 tem massa de 4 kg e a bola 2 tem massa de 1 kg e podem deslizar sem atrito. Considerando-se que a colisão é perfeitamente elástica e frontal determine a velocidade final das duas bolas de bilhar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de colisão perfeitamente elástica entre duas bolas. A bola branca (bola 1) está se movendo com uma velocidade de e tem uma massa de . A bola preta (bola 2) está parada e tem uma massa de . Nosso objetivo é encontrar as velocidades finais das duas bolas após a colisão.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação do momento linear e conservação da energia cinética, que são fundamentais em colisões elásticas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação do momento linear. Isso significa que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. A fórmula é:
m1 v1 + m2 v2 = m1 v1' + m2 v2'
Sabemos que 4 times 4 + 1 times 0 = 4 v1' + 1 v2' , então simplificando:
16 = 4 v1' + v2'

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação da energia cinética. Em uma colisão perfeitamente elástica, a energia cinética total também é preservada. A fórmula é:
12 m1 v1^2 + 12 m2 v2^2 = 12 m1 v1'^2 + 12 m2 v2'^2
Novamente, como 12 times 4 times 4^2 + 12 times 1 times 0^2 = 12 times 4 times v1'^2 + 12 times 1 times v2'^2 :
12 times 4 times 16 = 2 v1'^2 + 12 v2'^2
32 = 2 v1'^2 + 0,5 v2'^2

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. v2' = 16 - 4 v1'
  2. 32 = 2 v1'^2 + 0,5 (16 - 4 v1')^2
Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 5

Vamos expandir e resolver para 32 = 2 v1'^2 + 0,5 (256 - 128 v1' + 16 v1'^2) :
32 = 2 v1'^2 + 128 - 64 v1' + 8 v1'^2
32 = 10 v1'^2 - 64 v1' + 128
0 = 10 v1'^2 - 64 v1' + 96
Subtraindo 32 de ambos os lados:
0 = 5 v1'^2 - 32 v1' + 48
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
v1' = 32 pm raiz(-32)^2 - 4 times 5 times 482 times 5
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
v1' = 32 pm raiz1024 - 96010
v1' = 32 pm raiz6410
v1' = 32 pm 810
v2' = 16 - 4 times 2,4 = 16 - 9,6 = 6,4 , m/s
Então, temos duas soluções:
Mas, nesse contexto, a primeira solução ( ) indica que não houve colisão (a bola branca continua com a mesma velocidade e a preta permanece parada), o que não é o caso. Portanto, adotamos a segunda solução.
Agora, encontramos :

Resposta

Após a colisão, a bola branca (bola 1) terá uma velocidade final de e a bola preta (bola 2) terá uma velocidade final de .

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