Uma roda realiza 90 voltas em 15 s, sendo de 10 rad / s sua velocidade angular no final deste período. c) Quanto tempo transcorreu entre o instante em que a roda estava em repouso e o início do intervalo de 15 s?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda que gira 90 voltas em 15 segundos. No final desse período de 15 segundos, a velocidade angular dela é de 10 rad/s. A pergunta c) quer saber quanto tempo passou entre o momento em que a roda estava parada e o começo desses 15 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente as equações que relacionam velocidade angular, aceleração angular e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as voltas que a roda deu em radianos, porque as fórmulas de cinemática rotacional trabalham com radianos.
Sabemos que:
1 vo
Então, 90 voltas são:
theta = 90 times 2pi = 180pi rad

Passo 3

Agora, vamos identificar as informações que temos:
  • Tempo das voltas (Δt₁): 15 s
  • Velocidade angular final (ω_f): 10 rad/s
  • Velocidade angular inicial (ω_i): 0 rad/s (porque a roda estava em repouso)
Queremos encontrar o tempo que passou desde que a roda estava parada até o início desses 15 segundos. Vamos chamar esse tempo de Δt₀.

Passo 4

Assumindo que a aceleração angular (α) é constante durante todo o movimento, podemos usar a seguinte equação da cinemática rotacional para encontrar α durante os 15 segundos:
omegaf = omegai + alpha De
Como ω_i = 0:
10 = 0 + alpha times 15
Resolvendo para α:
alpha = 1015 = 23 rad/s² ²

Passo 5

Agora, vamos usar outra equação da cinemática rotacional para relacionar o deslocamento angular (θ) com a aceleração:
theta = omegai De
Novamente, ω_i = 0:
180pi = 0 + 12 times 23 times (15)^2
Simplificando:
180pi = 13 times 225
180pi = 75
Aqui percebemos um erro, pois 180π ≈ 565.5 e não 75. Isso indica que precisamos reconsiderar nosso approach.

Passo 6

Vamos ajustar nosso método. Talvez a aceleração não seja a mesma nos dois períodos. Vamos considerar que a roda estava acelerando até o início dos 15 segundos e depois continuou a girar com aceleração constante.
Vamos chamar:
  • Δt₀: tempo desde o repouso até o início dos 15 segundos
  • Δt₁: 15 segundos
Durante Δt₀, a roda parte do repouso até atingir uma certa velocidade angular (ω₁) no início dos 15 segundos. Então, durante Δt₁ = 15 s, ela acelera até ω_f = 10 rad/s.

Passo 7

Primeiro, vamos achar a aceleração durante os 15 segundos usando:
omegaf = omegai + alpha De
Onde ω_i = ω₁ (velocidade no início dos 15 s) e ω_f = 10 rad/s:
10 = omega₁ + alpha times 15
Precisamos de mais uma equação para resolver, usando o deslocamento angular total durante os 15 segundos:
theta = omegai De
Sabemos θ = 180π rad:
180pi = omega₁ times 15 + 12 alpha times 225
Simplificando:
180pi = 15omega₁ + 112.5alpha

Passo 8

Agora, temos duas equações:
  1. omega₁ = 10 - 15alpha
  2. 180pi = 15(10 - 15alpha) + 112.5alpha
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação, isolamos ω₁:
180pi = 150 - 225alpha + 112.5alpha
Substituímos na segunda equação:
180pi = 150 - 112.5alpha
112.5alpha = 150 - 180pi
alpha = 150 - 180pi112.5
Isolando α:
alpha approx 150 - 565.5112.5
alpha approx -415.5112.5
Calculando:
alpha approx -3.69 rad/s²
²
Um resultado negativo indica desaceleração, o que faz sentido se a roda está reduzindo sua aceleração.

Passo 9

Agora, usamos a primeira equação para encontrar ω₁:
omega₁ = 10 - 15 times (-3.69)
omega₁ = 10 + 55.35
omega₁ = 65.35 rad/s

Passo 10

Agora, vamos encontrar o tempo Δt₀ desde o repouso até atingir ω₁ = 65.35 rad/s com a aceleração α = -3.69 rad/s²:
Usamos a equação:
omega = omegai + alpha De
Como ω_i = 0:
65.35 = 0 + (-3.69) De
De
De
Um valor negativo não faz sentido no contexto, o que indica que houve um erro na modelagem do problema.

Resposta

Após analisar, percebemos que a aceleração angular não pode ser negativa para o contexto dado. Portanto, é necessário revisar os cálculos ou as suposições feitas para resolver corretamente a questão.

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