Uma roda realiza 90 voltas em
, sendo de
sua velocidade angular no final deste período. c) Quanto tempo transcorreu entre o instante em que a roda estava em repouso e o início do intervalo de 15 s?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma roda que gira 90 voltas em 15 segundos. No final desse período de 15 segundos, a velocidade angular dela é de 10 rad/s. A pergunta c) quer saber quanto tempo passou entre o momento em que a roda estava parada e o começo desses 15 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente as equações que relacionam velocidade angular, aceleração angular e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as voltas que a roda deu em radianos, porque as fórmulas de cinemática rotacional trabalham com radianos.
Sabemos que:
Então, 90 voltas são:
Passo 3
Agora, vamos identificar as informações que temos:
- Tempo das voltas (Δt₁): 15 s
- Velocidade angular final (ω_f): 10 rad/s
- Velocidade angular inicial (ω_i): 0 rad/s (porque a roda estava em repouso)
Queremos encontrar o tempo que passou desde que a roda estava parada até o início desses 15 segundos. Vamos chamar esse tempo de Δt₀.
Passo 4
Assumindo que a aceleração angular (α) é constante durante todo o movimento, podemos usar a seguinte equação da cinemática rotacional para encontrar α durante os 15 segundos:
Como ω_i = 0:
Resolvendo para α:
Passo 5
Agora, vamos usar outra equação da cinemática rotacional para relacionar o deslocamento angular (θ) com a aceleração:
Novamente, ω_i = 0:
Simplificando:
Aqui percebemos um erro, pois 180π ≈ 565.5 e não 75. Isso indica que precisamos reconsiderar nosso approach.
Passo 6
Vamos ajustar nosso método. Talvez a aceleração não seja a mesma nos dois períodos. Vamos considerar que a roda estava acelerando até o início dos 15 segundos e depois continuou a girar com aceleração constante.
Vamos chamar:
- Δt₀: tempo desde o repouso até o início dos 15 segundos
- Δt₁: 15 segundos
Durante Δt₀, a roda parte do repouso até atingir uma certa velocidade angular (ω₁) no início dos 15 segundos. Então, durante Δt₁ = 15 s, ela acelera até ω_f = 10 rad/s.
Passo 7
Primeiro, vamos achar a aceleração durante os 15 segundos usando:
Onde ω_i = ω₁ (velocidade no início dos 15 s) e ω_f = 10 rad/s:
Precisamos de mais uma equação para resolver, usando o deslocamento angular total durante os 15 segundos:
Sabemos θ = 180π rad:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação, isolamos ω₁:
Substituímos na segunda equação:
Isolando α:
Calculando:
Um resultado negativo indica desaceleração, o que faz sentido se a roda está reduzindo sua aceleração.
Passo 9
Agora, usamos a primeira equação para encontrar ω₁:
Passo 10
Agora, vamos encontrar o tempo Δt₀ desde o repouso até atingir ω₁ = 65.35 rad/s com a aceleração α = -3.69 rad/s²:
Usamos a equação:
Como ω_i = 0:
Um valor negativo não faz sentido no contexto, o que indica que houve um erro na modelagem do problema.
Resposta
Após analisar, percebemos que a aceleração angular não pode ser negativa para o contexto dado. Portanto, é necessário revisar os cálculos ou as suposições feitas para resolver corretamente a questão.