Em uma quadra de basquete o centro do aro da cesta localiza-se a 3,15 m de altura. Para arremessar uma bola com ângulo de lançamento de 45^circ, a partir de uma altura de 2,50 m e a uma distância horizontal de 5,00 m em relação ao centro do aro, qual deve ser a velocidade de lançamento? Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre lançar uma bola de basquete de uma certa altura e distância, com um ângulo específico, e descobrir qual deve ser a velocidade inicial desse lançamento. Aqui, vamos usar conceitos de movimento parabólico, que é basicamente o movimento de um projétil sob a ação da gravidade. Para resolver, vamos precisar das equações de movimento para a direção horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Altura inicial ( ): 2,50 m
  • Altura final ( ): 3,15 m
  • Distância horizontal ( ): 5,00 m
  • Ângulo de lançamento ( ): 45°
  • Aceleração da gravidade ( ):
Queremos descobrir a velocidade inicial ( ) necessária para que a bola chegue na altura e distância certas.

Passo 3

Vamos separar a velocidade inicial nas componentes horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) e vertical ( v0y = v0 cdot sin(theta) ):
Como o ângulo é 45°, sabemos que .

Passo 4

A posição horizontal é dada por:
d = v0x cdot t
Onde t = dv0x = 5,00v0 cdot raiz22 = 10v0 cdot raiz2 é o tempo que a bola leva para chegar na distância . Vamos isolar :

Passo 5

Agora, vamos analisar o movimento vertical. A posição vertical final é a altura do aro ( hf = hi + v0y cdot t - 12 g t^2 ):
3,15 = 2,50 + v0 cdot raiz22 cdot 10v0 cdot raiz2 - 12 cdot 9,80 cdot ( 10v0 cdot raiz2 )^2
Substituindo e :

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
3,15 = 2,50 + 102 - 12 cdot 9,80 cdot 1002 v0^2
3,15 = 2,50 + 5,00 - 4902 v0^2
3,15 = 7,50 - 245v0^2

Passo 7

Isolando 245v0^2 = 7,50 - 3,15 :
245v0^2 = 4,35

Passo 8

Agora, resolvemos para v0^2 = 2454,35 approx 56,32 , m^2/s^2 :

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar v0 = raiz56,32 approx 7,50 , m/s :

Resposta

A velocidade de lançamento necessária é aproximadamente 7,50 metros por segundo.

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