Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar a sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação da população de insetos em função do tempo, em semanas, conclui-se que o tamanho da população é dado por: F(t) = -10 t^2 + 20 t + 10, determine: Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que mostra como a população de insetos muda ao longo do tempo, em semanas. A função é . Nosso objetivo é descobrir em quais semanas essa população de insetos será exterminada, ou seja, quando . Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a função igual a zero e montar a equação quadrática:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução. Podemos dividir todos os termos por -10:
Essa é uma equação do segundo grau na forma , onde , e .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Vamos calcular o discriminante ( ) primeiro:
Como , temos duas soluções reais:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores aproximados de :
ã
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos . Portanto, a população de insetos será exterminada aproximadamente após 2,414 semanas.

Resposta

A população de insetos será exterminada após aproximadamente 2,414 semanas.

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