Se phi é uma função tal que 1-x^24 <= phi(x) <= 1+x^22, forall x neq 0, calcule lim x 0 phi(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função phi(x) que está sempre entre 1 - x^24 e 1 + x^22 para qualquer valor de x diferente de zero. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o limite de phi(x) quando x se aproxima de zero. Para isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Confronto. Esse teorema diz que se uma função está “presa” entre duas outras funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função no meio também terá esse limite. Em termos matemáticos, se f(x) <= g(x) <= h(x) e limx to a f(x) = limx to a h(x) = L, então limx to a g(x) = L.

Passo 3

No nosso caso, temos que 1 - x^24 <= phi(x) <= 1 + x^22. Vamos identificar as duas funções que estão “confrontando” a phi(x):
  • A função de baixo: f(x) = 1 - x^24
  • A função de cima: h(x) = 1 + x^22

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessas duas funções quando x se aproxima de zero.
Para f(x) = 1 - x^24:
limx to 0 (1 - x^24) = 1 - 04 = 1
Para h(x) = 1 + x^22:
limx to 0 (1 + x^22) = 1 + 02 = 1

Passo 5

Como vimos, tanto o limite de f(x) quanto o de h(x) quando x vai para zero é igual a 1. De acordo com o Teorema do Confronto, isso significa que o limite de phi(x) também é 1.

Resposta

limx to 0 phi(x) = 1

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