Ok, vamos lá! Temos duas equações de planos no espaço e queremos encontrar o valor de que faz com que esses planos sejam paralelos. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois planos serem paralelos e como identificar isso a partir das equações dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a equação geral de um plano é dada por:
Onde é o vetor normal ao plano. Dois planos são paralelos se seus vetores normais forem proporcionais, ou seja, se um vetor normal for um múltiplo do outro.
Passo 3
Vamos identificar os vetores normais de cada plano:
Para :
O vetor normal é .
Para :
O vetor normal é .
Passo 4
Para que os planos e sejam paralelos, os vetores normais e devem ser proporcionais. Isso significa que existe um número tal que:
Passo 5
Vamos estabelecer as proporções entre as componentes correspondentes dos vetores:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar o valor de .
Passo 6
Primeiro, vamos da primeira equação:
n + 1 = k(m - 1) Rightarrow k = n + 1m - 1
Agora, da segunda equação:
n - 1 = k(m - 2) Rightarrow k = n - 1m - 2
Como ambos são iguais a n + 1m - 1 = n - 1m - 2 , podemos igualá-los:
Passo 7
Vamos resolver a equação:
(n + 1)(m - 2) = (n - 1)(m - 1)
Expandindo ambos os lados:
n m - 2n + m - 2 = n m - n - m + 1
Passo 8
Agora, vamos simplificar:
n m - 2n + m - 2 = n m - n - m + 1
Subtraindo -2n + m - 2 = -n - m + 1 de ambos os lados:
-2n + m + m = -n + 1 + 2 -2n + 2m = -n + 3
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Passo 9
Isolando -2n + 2m = -n + 3 2m = 2n - n + 3 2m = n + 3 m = n + 32 :
Passo 10
Agora, usamos a terceira equação para determinar 2n = k(m + 1) :
2n = n + 1n + 32 - 1 ( n + 32 + 1 )
Substituindo 2n = n + 1n + 3 - 22 cdot n + 52 2n = n + 1n + 12 cdot n + 52 2n = 2(n + 1)n + 1 cdot n + 52 2n = 1 cdot n + 51 2n = n + 5 2n - n = 5 n = 5 e :
Simplificando:
Passo 11
Agora que encontramos m = 5 + 32 = 82 = 4 , substituímos na expressão de :