Verifique quais dos conjuntos abaixo são linearmente independentes: u=(3,4) e v=(1,-3) in R^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores e são linearmente independentes no espaço . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente nos diz se um vetor pode ser escrito como uma combinação dos outros. Se não puder, eles são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que os vetores são linearmente independentes. Isso quer dizer que a única solução para a equação é quando a e b são ambos iguais a zero. Se conseguirmos provar isso, então os vetores não dependem um do outro.

Passo 3

Vamos montar a equação a cdot (3, 4) + b cdot (1, -3) = (0, 0) usando os vetores que temos:
3a + b = 0 (1)
Isso nos dá duas equações:
4a - 3b = 0 (2)

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1), podemos isolar o b:
b = -3a
Substituindo 4a - 3(-3a) = 0 na equação (2):
4a + 9a = 0
13a = 0
a = 0
b = -3(0) = 0
Com , substituímos de volta para encontrar b:

Resposta

Como a única solução é e , os vetores e são linearmente independentes.

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