Verifique quais dos conjuntos abaixo são linearmente independentes:
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os vetores
e
são linearmente independentes no espaço
. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente nos diz se um vetor pode ser escrito como uma combinação dos outros. Se não puder, eles são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que os vetores são linearmente independentes. Isso quer dizer que a única solução para a equação
é quando a e b são ambos iguais a zero. Se conseguirmos provar isso, então os vetores não dependem um do outro.
Passo 3
Vamos montar a equação
usando os vetores que temos:
Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da equação (1), podemos isolar o b:
Substituindo
na equação (2):
Com
, substituímos de volta para encontrar b:
Resposta
Como a única solução é
e
, os vetores
e
são linearmente independentes.