Se
, então:
a)
e
.
b)
e
.
c)
e
.
d)
e
©
a)
b)
c)
d)
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria juntos! A questão nos dá um intervalo para o ângulo
e pede para determinarmos os sinais de
e nesse intervalo. Para isso, vamos precisar saber em quais quadrantes estamos trabalhando e como os sinais das funções trigonométricas variam em cada quadrante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o intervalo dado:
. Sabemos que
é uma volta completa no círculo trigonométrico. Então,
é o mesmo que
, ou seja, uma volta completa mais um quadrante.
Passo 3
Vamos identificar em qual quadrante está o ângulo
. Sabendo que:
-
está no primeiro quadrante, -
no segundo, -
no terceiro, -
no quarto,
Podemos adicionar
para encontrar a posição de
no intervalo dado:
-
, que está no mesmo lugar que , mas após uma volta completa. -
, que está no mesmo lugar que , mas após uma volta completa.
Portanto,
está entre
e
, o que corresponde ao segundo e terceiro quadrantes do círculo trigonométrico após uma volta completa.
Passo 4
Agora, vamos lembrar os sinais de
e em cada quadrante:
- Primeiro quadrante (
): e - Segundo quadrante (
): e - Terceiro quadrante (
): e - Quarto quadrante (
): e
Passo 5
Aplicando isso ao nosso intervalo
:
- De
a cobre o segundo e o terceiro quadrantes além da volta completa. - No segundo quadrante,
e - No terceiro quadrante,
e
Passo 6
Como o intervalo inclui partes do segundo e do terceiro quadrante, precisamos considerar os sinais em ambos. Mas observe que a resposta correta deve refletir as condições no intervalo completo. No intervalo de
a
, o sinal de
é sempre negativo e o de varia de positivo para negativo.
Passo 7
Analisando as opções:
a) e — Errado
b) e — Errado
c) e — Parcialmente correto
d) e — Parcialmente correto
a)
b)
c)
d)
Mas considerando todo o intervalo, a opção que melhor representa os sinais durante o intervalo é onde
, já que é constante, e muda de positivo para negativo, mas a opção que captura
e inicialmente está correta para parte do intervalo.
Resposta
c)
e
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j)
j)
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sabendo que
.
Calcule os limites abaixo:
m)
m)