No sistema ao lado o bloco tem massa m=3,0 kg, e o disco cilindrico um raio R=0,20 m e massa M=2,0 kg. Ao redor do disco está enrolado um fio de massa desprezivel que o prende ao bloco. Desprezando o atrito com o eixo no centro do disco determine a aceleração do bloco que cai.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema com dois componentes principais: um bloco de massa $ m = 3,0 , kg $ que está pendurado por um fio, e um disco cilíndrico com raio $ R = 0,20 , m $ e massa $ M = 2,0 , kg $. O fio está enrolado no disco e a massa do fio é desprezível. Precisamos descobrir qual é a aceleração do bloco enquanto ele cai, considerando que não tem atrito no eixo do disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como força, torque e rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no sistema. No bloco, temos a força da gravidade puxando para baixo, que é $ F_g = m \times g $, onde $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade. Além disso, tem a tensão no fio $ T $ que puxa o bloco para cima.

Passo 3

Agora, vamos pensar no disco. Quando o bloco cai, o fio desenrola e faz o disco girar. A tensão no fio cria um torque no disco. O torque ($ \tau $) é dado por $ \tau = T \times R $, onde $ R $ é o raio do disco.

Passo 4

Sabemos que o torque também está relacionado à aceleração angular ($ \alpha $) do disco pela fórmula $ \tau = I \times \alpha $, onde $ I $ é o momento de inércia do disco. Para um disco cilíndrico, o momento de inércia é $ I = \frac{1}{2} M R^2 $.

Passo 5

Vamos relacionar a aceleração linear ($ a $) do bloco com a aceleração angular do disco. A aceleração linear é a tangente ao disco, então $ a = \alpha \times R $. Portanto, $ \alpha = \frac{a}{R} $.

Passo 6

Substituindo $ \alpha $ na equação do torque, temos:
alpha
tau = I times aR
Simplificando:
T times R = 12 M R^2 times aR
T times R = 12 M R a

Passo 7

Agora, vamos olhar para as forças no bloco. A força da gravidade que puxa para baixo é $ m \times g $ e a tensão no fio que puxa para cima é $ T $. A segunda lei de Newton nos diz que:
m times g
Substituindo $ T $ da etapa anterior:
T

Passo 8

Vamos resolver essa equação para $ a $. Primeiro, vamos reunir os termos com $ a $:
a
a
Agora, isolamos $ a $:
m times g = m times a + 12 M a

Passo 9

Substituindo os valores dados:
a = 3,0 , kg times 9,8 , m/s^23,0 , kg + 12 times 2,0 , kg
a = 29,4 , N3,0 , kg + 1,0 , kg
a = 29,4 , N4,0 , kg
a = 7,35 , m/s^2

Resposta

A aceleração do bloco que cai é de aproximadamente $ 7,35 , m/s^2 $.

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