No sistema ao lado o bloco tem massa
, e o disco cilindrico um raio
e massa
. Ao redor do disco está enrolado um fio de massa desprezivel que o prende ao bloco. Desprezando o atrito com o eixo no centro do disco determine a aceleração do bloco que cai.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema com dois componentes principais: um bloco de massa $ m = 3,0 , kg $ que está pendurado por um fio, e um disco cilíndrico com raio $ R = 0,20 , m $ e massa $ M = 2,0 , kg $. O fio está enrolado no disco e a massa do fio é desprezível. Precisamos descobrir qual é a aceleração do bloco enquanto ele cai, considerando que não tem atrito no eixo do disco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como força, torque e rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no sistema. No bloco, temos a força da gravidade puxando para baixo, que é $ F_g = m \times g $, onde $ g = 9,8 , m/s^2 $ é a aceleração da gravidade. Além disso, tem a tensão no fio $ T $ que puxa o bloco para cima.
Passo 3
Agora, vamos pensar no disco. Quando o bloco cai, o fio desenrola e faz o disco girar. A tensão no fio cria um torque no disco. O torque ($ \tau $) é dado por $ \tau = T \times R $, onde $ R $ é o raio do disco.
Passo 4
Sabemos que o torque também está relacionado à aceleração angular ($ \alpha $) do disco pela fórmula $ \tau = I \times \alpha $, onde $ I $ é o momento de inércia do disco. Para um disco cilíndrico, o momento de inércia é $ I = \frac{1}{2} M R^2 $.
Passo 5
Vamos relacionar a aceleração linear ($ a $) do bloco com a aceleração angular do disco. A aceleração linear é a tangente ao disco, então $ a = \alpha \times R $. Portanto, $ \alpha = \frac{a}{R} $.
Passo 6
Substituindo $ \alpha $ na equação do torque, temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos olhar para as forças no bloco. A força da gravidade que puxa para baixo é $ m \times g $ e a tensão no fio que puxa para cima é $ T $. A segunda lei de Newton nos diz que:
Substituindo $ T $ da etapa anterior:
Passo 8
Vamos resolver essa equação para $ a $. Primeiro, vamos reunir os termos com $ a $:
Agora, isolamos $ a $:
Passo 9
Substituindo os valores dados:
Resposta
A aceleração do bloco que cai é de aproximadamente $ 7,35 , m/s^2 $.