No sistema ao lado o bloco tem massa m=3,0 kg, e o disco cilindrico um raio R=0,20 m e massa M=2,0 kg. Ao redor do disco está enrolado um fio de massa desprezivel que o prende ao bloco. Desprezando o atrito com o eixo no centro do disco determine a tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco com massa $ m = 3,0 , kg $ preso a um fio que está enrolado num disco cilíndrico de raio $ R = 0,20 , m $ e massa $ M = 2,0 , kg $. Queremos descobrir qual é a tensão $ T $ no fio. Para resolver isso, vamos usar princípios de dinâmica rotacional e leis de Newton. Precisamos entender como as forças atuam no sistema e como a rotação do disco influencia na tensão do fio.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam no bloco. A gravidade puxa o bloco para baixo com uma força $ mg $ e a tensão $ T $ no fio puxa para cima. De acordo com a segunda lei de Newton para movimento linear:
mg
Aqui, $ a $ é a aceleração do bloco.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o disco cilíndrico. A tensão no fio cria um torque que faz o disco girar. O torque $ \tau $ é dado por:
tau
Sabemos que o momento de inércia $ I $ de um disco cilíndrico é:
tau = T cdot R
E a segunda lei de Newton para rotação é:
I
Onde $ \alpha $ é a aceleração angular do disco.

Passo 4

Existe uma relação entre a aceleração linear $ a $ do bloco e a aceleração angular $ \alpha $ do disco:
a
Podemos substituir $ \alpha $ na equação do torque:
alpha
Simplificando:
a = R cdot alpha

Passo 5

Agora, temos duas equações envolvendo $ T $ e $ a $:
  1. $ mg - T = m \cdot a $
  2. $ T = \frac{1}{2} M a $
Vamos substituir a segunda equação na primeira:
T
a
Fatorando $ a $:
mg - T = m cdot a
Isolando $ a $:
T = 12 M a

Passo 6

Vamos calcular o valor de $ a $:
a

Passo 7

Agora que temos $ a $, podemos encontrar $ T $ usando a equação $ T = \frac{1}{2} M a $:
a

Resposta

A tensão no fio é de aproximadamente $ 7,35 , N $.

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