Traçar um esboço do gráfico e obter uma equaçâo cònica que satisfaça as condiçóes dadas. © Parábola: vértice
, concavidade voltada para cima, passando pelo ponto
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos traçar o esboço do gráfico de uma parábola que tem seu vértice no ponto
, abre para cima (concavidade voltada para cima) e passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos utilizar o conteúdo das equações de parábolas, especificamente a forma padrão da equação de uma parábola com vértice na origem.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a forma padrão da equação de uma parábola com vértice na origem
e que abre para cima. A equação é:
Aqui,
é um número que determina a “largura” da parábola e a direção para onde ela está voltada. Como a concavidade está voltada para cima, sabemos que
é positivo.
Passo 3
Agora, sabemos que a parábola passa pelo ponto
. Isso significa que as coordenadas desse ponto devem satisfazer a equação da parábola. Vamos substituir
e
na equação
para encontrar o valor de
.
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Então, o valor de
é
.
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a equação completa da parábola:
Resposta
A equação da parábola é:
Exercícios relacionados
Traçar um esboço do gráfico e obter uma equaçâo cònica que satisfaça as condiçóes dadas. (d) Elipse: focos
e eixo menor igual a 10
Considere o sistema
Note que podemos escrevê-lo na forma matricial
Um piloto guia set avião mantendo sempre constante a diferença entre suas distâncias à duas estaçôes transmissoras. Sua trajetória é um ramo da hipérbole de equaçāo
. Qual a distancia entre as estaçöes (em Km )?
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ - UFPI
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
Nome:
Campus Universitário Ministro Petrônio Portella
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III DMAT/CCN013
Prof. Ailton Campos
Data: 02/10/2024
Período: 2024.2
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1 Lista de Exercícios
- Classifique e esboce a curva dada pela equação:
- Determine a equação da parábola cujo vértice está na origem e o foco no ponto
. - Encontre a equação da elipse com centro na origem, focos em
e vértices em . - Dada a equação da hipérbole:
Esboce o gráfico, identificando os vértices e assíntotas.
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em e o eixo maior de comprimento 10 .
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
5. Encontre a equação reduzida da elipse que tem os focos em
6. Classifique a superfície quádrica dada pela equação:
Qual é o tipo de superfície? Esboce seu gráfico.
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
7. Determine e classifique a superfície dada pela equação:
- Identifique a superfície quádrupla representada pela equação:
Esboce o gráfico da superfície e descreva suas características geométricas.
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
9. Determine o tipo de superfície descrita pela equação:
Esboce o gráfico.
10. A superfície é dada por:
10. A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
11. Dada a função , encontre e esboce as curvas de nível correspondentes a
.
12. Considere a função . Encontre as curvas de nível para os valores
. Esboce as curvas no plano xy.
13. Dada a função , encontre as curvas de nível para
. Esboce essas curvas.
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função para os valores
.
15. Encontre as superfícies de nível da função . Para
, identifique e esboce as superfícies de nível.
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
11. Dada a função
12. Considere a função
13. Dada a função
14. Determine e esboce as superfícies de nível da função
15. Encontre as superfícies de nível da função
16. Encontre a equação vetorial da curva paramétrica dada por:
Esboce a curva.
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo
.
18. Dada a curva paramétrica:
17. Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo
18. Dada a curva paramétrica:
Determine os pontos em que a curva tem tangente horizontal e vertical.
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro e o plano
.
21. Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados
(a)
(b)
© .
22. Identifique as superfícies de nível para
e
de
(a)
(b)
23. A função
19. Encontre as equações paramétricas para a hélice com raio 2 e altura 5 por revolução.
20. Parametrize a curva de interseção entre o cilindro
21. Identifique as curvas de nível
(a)
(b)
©
22. Identifique as superfícies de nível
(a)
(b)
23. A função
onde k e r são constantes positivas, fornece o potêncial elétrico (em volts) no ponto (
) no plano xy. Descreva as curvas de nível de V e esboçe o conjunto que as representam. As curvas de nível de V são chamadas curvas equipotênciais; todos os pontos sobre uma curva equipotencial têm o mesmo potêncial elétrico.