Traçar um esboço do gráfico e obter uma equaçâo cònica que satisfaça as condiçóes dadas. (d) Elipse: focos e eixo menor igual a 10
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica, mais especificamente de elipses. A tarefa é desenhar um esboço do gráfico e encontrar a equação da elipse que tem os focos em e o eixo menor com comprimento igual a 10.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os focos de uma elipse. Em uma elipse, os dois focos são pontos fixos que ajudam a definir a forma da elipse. A distância entre os dois focos é , onde é a distância de cada foco ao centro da elipse.
Passo 3
Aqui, os focos estão em e . Isso significa que a distância total entre os focos é unidades, então . Dividindo por 2, encontramos que .
Passo 4
O próximo passo é relacionar com os comprimentos dos eixos da elipse. Sabemos que o eixo menor tem comprimento , então . Para uma elipse, a relação entre (semi-eixo maior), (semi-eixo menor) e é dada por:
Passo 5
Agora, vamos encontrar . Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Com os valores de e determinados, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão no eixo y, a elipse está verticalmente alinhada. A equação padrão para uma elipse vertical é:
Substituindo e :
Resposta
A equação da elipse que satisfaz as condições dadas é: