Traçar um esboço do gráfico e obter uma equaçâo cònica que satisfaça as condiçóes dadas. (d) Elipse: focos F(0, pm 5) e eixo menor igual a 10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de geometria analítica, mais especificamente de elipses. A tarefa é desenhar um esboço do gráfico e encontrar a equação da elipse que tem os focos em e o eixo menor com comprimento igual a 10.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os focos de uma elipse. Em uma elipse, os dois focos são pontos fixos que ajudam a definir a forma da elipse. A distância entre os dois focos é , onde é a distância de cada foco ao centro da elipse.

Passo 3

Aqui, os focos estão em e . Isso significa que a distância total entre os focos é unidades, então . Dividindo por 2, encontramos que .

Passo 4

O próximo passo é relacionar c^2 = a^2 - b^2 com os comprimentos dos eixos da elipse. Sabemos que o eixo menor tem comprimento , então . Para uma elipse, a relação entre (semi-eixo maior), (semi-eixo menor) e é dada por:

Passo 5

Agora, vamos encontrar 5^2 = a^2 - 5^2 25 = a^2 - 25 a^2 = 25 + 25 a^2 = 50 a = raiz50 . Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Com os valores de y^2a^2 + x^2b^2 = 1 e y^250 + x^225 = 1 determinados, podemos escrever a equação padrão da elipse. Como os focos estão no eixo y, a elipse está verticalmente alinhada. A equação padrão para uma elipse vertical é:
Substituindo e :

Resposta

A equação da elipse que satisfaz as condições dadas é:
y^250 + x^225 = 1

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