Uma pipa a 60 m acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de
. A que taxa decresce o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 120 m de linha serem soltos?
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pipa que está a 60 metros acima do solo e está se movendo horizontalmente a uma velocidade de 2 m/s. Queremos descobrir a que taxa o ângulo entre a linha da pipa e a horizontal está diminuindo depois que 120 metros de linha foram soltos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine um triângulo retângulo onde:
- A altura fixa é de 60 metros (a altura da pipa).
- A distância horizontal que a pipa se move é representada por
. - A linha da pipa é a hipotenusa
, que está aumentando à medida que a pipa se move.
Sabemos que
metros neste momento.
Passo 3
Usaremos a relação trigonométrica entre o ângulo
, a altura
e a distância horizontal
:
Sabemos que
metros e
metros, então podemos encontrar
.
Passo 4
Calculamos
usando a função seno inverso:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a taxa de variação de
em relação ao tempo, ou seja,
.
Primeiro, vamos relacionar as taxas de variação usando a derivada da função seno:
Sabendo que
é constante, temos:
Passo 6
Precisamos encontrar
, a taxa de variação do comprimento da linha. Como a pipa se move horizontalmente a 2 m/s, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar
,
e
:
Derivando em relação ao tempo:
Simplificando:
Sabemos que
e
m. Precisamos encontrar
.
Passo 7
Usando o teorema de Pitágoras:
Passo 8
Agora, calculamos
:
Passo 9
Voltando à equação da taxa de variação do ângulo:
Sabemos que
, então
,
m,
m e
m/s. Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação do ângulo entre a linha da pipa e a horizontal está diminuindo a aproximadamente
depois que 120 metros de linha foram soltos.
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. Calcule o custo marginal de produzir 10 unidades de bananola, istó é, calcule a taxa instantânea da variação de
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quando
.
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para
.
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para
.
Suponha que
e
para todo
.
(a) Esboce um possível gráfico para ;
(a) Esboce um possível gráfico para