Uma pipa a 60 m acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de . A que taxa decresce o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 120 m de linha serem soltos?

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pipa que está a 60 metros acima do solo e está se movendo horizontalmente a uma velocidade de 2 m/s. Queremos descobrir a que taxa o ângulo entre a linha da pipa e a horizontal está diminuindo depois que 120 metros de linha foram soltos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria e cálculo, especificamente derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine um triângulo retângulo onde:
  • A altura fixa é de 60 metros (a altura da pipa).
  • A distância horizontal que a pipa se move é representada por .
  • A linha da pipa é a hipotenusa , que está aumentando à medida que a pipa se move.
Sabemos que metros neste momento.

Passo 3

Usaremos a relação trigonométrica entre o ângulo , a altura e a distância horizontal :
Sabemos que metros e metros, então podemos encontrar .

Passo 4

Calculamos usando a função seno inverso:

Passo 5

Agora, queremos encontrar a taxa de variação de em relação ao tempo, ou seja, .
Primeiro, vamos relacionar as taxas de variação usando a derivada da função seno:
Sabendo que é constante, temos:

Passo 6

Precisamos encontrar , a taxa de variação do comprimento da linha. Como a pipa se move horizontalmente a 2 m/s, podemos usar o teorema de Pitágoras para relacionar , e :
Derivando em relação ao tempo:
Simplificando:
Sabemos que e m. Precisamos encontrar .

Passo 7

Usando o teorema de Pitágoras:

Passo 8

Agora, calculamos :

Passo 9

Voltando à equação da taxa de variação do ângulo:
Sabemos que , então , m, m e m/s. Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A taxa de variação do ângulo entre a linha da pipa e a horizontal está diminuindo a aproximadamente depois que 120 metros de linha foram soltos.

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Usando derivação, mostre que para .
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(a) Esboce um possível gráfico para ;