Usando derivação, mostre que para .

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma inequação que queremos provar usando derivação. O enunciado diz:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para mostrar que essa desigualdade é válida para todos os valores de maiores que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da inequação. Isso vai facilitar a análise. Vamos chamar essa função de :
Queremos mostrar que para todo .

Passo 3

Agora, para entender o comportamento de , vamos calcular sua derivada. A derivada nos ajuda a saber se a função está aumentando ou diminuindo. Vamos derivar em relação a :
Calculando cada derivada separadamente:
Então, a derivada de fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Observamos que para , , então . Portanto, o termo dentro dos parênteses é positivo:
Isso implica que:

Passo 5

Como para , isso significa que é uma função crescente nesse intervalo. Ou seja, conforme aumenta, também aumenta.
Agora, vamos verificar o valor de quando :
Como é crescente e começa em zero quando , para qualquer , teremos:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Uma pipa a 60 m acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de . A que taxa decresce o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 120 m de linha serem soltos?
O custo em reais de produzir unidades de bananolas é . Calcule o custo marginal de produzir 10 unidades de bananola, istó é, calcule a taxa instantânea da variação de em relação à quando .
Suponha que e para todo .
(a) Esboce um possível gráfico para ;
Considere a função . Determine:
(b) Suas assíntotas, caso existam;