Usando derivação, mostre que
para
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma inequação que queremos provar usando derivação. O enunciado diz:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para mostrar que essa desigualdade é válida para todos os valores de
maiores que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da inequação. Isso vai facilitar a análise. Vamos chamar essa função de
:
Queremos mostrar que
para todo
.
Passo 3
Agora, para entender o comportamento de
, vamos calcular sua derivada. A derivada nos ajuda a saber se a função está aumentando ou diminuindo. Vamos derivar
em relação a
:
Calculando cada derivada separadamente:
Então, a derivada de
fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Observamos que para
,
, então
. Portanto, o termo dentro dos parênteses é positivo:
Isso implica que:
Passo 5
Como
para
, isso significa que
é uma função crescente nesse intervalo. Ou seja, conforme
aumenta,
também aumenta.
Agora, vamos verificar o valor de
quando
:
Como
é crescente e começa em zero quando
, para qualquer
, teremos:
Resposta
Portanto, mostramos que: