Suponha que
e
para todo
.
(a) Esboce um possível gráfico para
;
(a) Esboce um possível gráfico para
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
que satisfaz algumas condições específicas:
,
,
e
para todo
. Isso está relacionado ao estudo de funções e suas derivadas na matemática, especificamente em cálculo. Para resolver isso, vamos analisar cada uma dessas condições para entender como o gráfico de
deve se comportar.
Passo 2
Primeiro,
nos diz que o ponto
está no gráfico da função. Isso é o ponto inicial que vamos considerar.
Passo 3
Em seguida,
nos informa que a taxa de variação da função em
é
. Isso significa que a reta tangente ao gráfico de
no ponto
tem inclinação positiva, ou seja, o gráfico está aumentando nesse ponto.
Passo 4
A condição
para todo
indica que a função está sempre aumentando. Não importa em que ponto
consideremos,
vai estar subindo. Isso nos dá uma ideia geral da direção do gráfico: sempre subindo da esquerda para a direita.
Passo 5
Por fim,
para todo
nos diz que a concavidade do gráfico é para baixo em todos os pontos. Em termos mais simples, o gráfico de
está “curvado para baixo” em toda a sua extensão.
Resposta
Então, juntando tudo isso, o gráfico de
tem o ponto
, está sempre aumentando com uma inclinação de
nesse ponto, e a curva está sempre curvada para baixo. Um possível esboço seria uma curva crescente que se achatamento à medida que avança, refletindo a concavidade para baixo.
Exercícios relacionados
Usando derivação, mostre que
para
.
Uma pipa a 60 m acima do solo move-se horizontalmente a uma velocidade de
. A que taxa decresce o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 120 m de linha serem soltos?
Considere a função
. Determine:
(b) Suas assíntotas, caso existam;
(b) Suas assíntotas, caso existam;
Verifique que
é uma solução das equações diferenciais homogêneas, utilize o método da redução de ordem para determinar a outra solução linearmente independente e o método da variação de parâmetros para obter uma solução particular de:
a)
a)