Suponha que e para todo .
(a) Esboce um possível gráfico para ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função que satisfaz algumas condições específicas: , , e para todo . Isso está relacionado ao estudo de funções e suas derivadas na matemática, especificamente em cálculo. Para resolver isso, vamos analisar cada uma dessas condições para entender como o gráfico de deve se comportar.

Passo 2

Primeiro, nos diz que o ponto está no gráfico da função. Isso é o ponto inicial que vamos considerar.

Passo 3

Em seguida, nos informa que a taxa de variação da função em é . Isso significa que a reta tangente ao gráfico de no ponto tem inclinação positiva, ou seja, o gráfico está aumentando nesse ponto.

Passo 4

A condição para todo indica que a função está sempre aumentando. Não importa em que ponto consideremos, vai estar subindo. Isso nos dá uma ideia geral da direção do gráfico: sempre subindo da esquerda para a direita.

Passo 5

Por fim, para todo nos diz que a concavidade do gráfico é para baixo em todos os pontos. Em termos mais simples, o gráfico de está “curvado para baixo” em toda a sua extensão.

Resposta

Então, juntando tudo isso, o gráfico de tem o ponto , está sempre aumentando com uma inclinação de nesse ponto, e a curva está sempre curvada para baixo. Um possível esboço seria uma curva crescente que se achatamento à medida que avança, refletindo a concavidade para baixo.

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Usando derivação, mostre que para .
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a)