Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas com a mesma medida de comprimento e a medida de área da base é igual a 16 cm². Qual é a medida de área total dessa pirâmide?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão. A gente tem uma pirâmide quadrangular regular, ou seja, a base é um quadrado e todas as arestas da pirâmide têm o mesmo comprimento. A área da base é 16 cm². Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a área total dessa pirâmide. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre cálculo de área de quadrados e de triângulos, além de entender como a área total de uma pirâmide é composta pela soma da área da base com a área das faces laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o comprimento do lado da base. Como a área da base é um quadrado de 16 cm², a fórmula da área do quadrado é:
Então, temos:
Passo 3
Agora que sabemos que cada lado da base mede 4 cm, e como todas as arestas da pirâmide têm o mesmo comprimento, as arestas que vão da base até o vértice também medem 4 cm.
Passo 4
Para encontrar a área total da pirâmide, precisamos somar a área da base com a área das quatro faces laterais. Como as faces laterais são triângulos, vamos calcular a área de um triângulo e depois multiplicar por quatro.
Passo 5
Cada triângulo lateral tem uma base de 4 cm e dois lados iguais de 4 cm. Isso forma um triângulo isósceles. Para encontrar a altura desse triângulo, podemos usar o Teorema de Pitágoras. A altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos, cada um com base de 2 cm (metade de 4 cm) e hipotenusa de 4 cm.
A altura $ h $ pode ser calculada por:
Passo 6
Agora que temos a altura do triângulo lateral, podemos calcular a área de um triângulo usando a fórmula:
Passo 7
Como são quatro triângulos laterais iguais, a área total das faces laterais é:
Resposta
A medida da área total da pirâmide é igual a área da base mais a área das faces laterais, ou seja: