Uma pirâmide tetraédrica regular possui cargas Q situadas nos três vértices da base, e uma carga -Q situada no quarto vértice, que se situa a uma altura H do centro da base triangular. A pirâmide tem todos os lados iguais e existe uma carga q exatamente no seu centro geométrico. Verifique qual é a carga q, se houver, que permanece em equilíbrio neste ponto, e em que direções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma pirâmide tetraédrica regular onde três vértices da base têm cargas positivas $ Q $ e o vértice de cima tem uma carga negativa $ -Q $. Além disso, tem uma carga $ q $ no centro geométrico da pirâmide. Nosso objetivo é descobrir qual valor $ q $ precisa ter para ficar em equilíbrio nesse ponto e em quais direções as forças vão atuar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Coulomb e o conceito de equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição da carga $ q $. O centro geométrico de uma pirâmide tetraédrica regular está equidistante dos quatro vértices. Como todos os lados são iguais, podemos calcular a distância do centro até cada vértice usando geometria do tetraedro. Supondo que a altura da pirâmide é $ H $, podemos relacionar essa altura com a distância do centro aos vértices.

Passo 3

Agora, vamos considerar as forças que atuam sobre a carga $ q $ no centro. As três cargas positivas $ Q $ na base vão exercer uma força de repulsão sobre $ q $ se $ q $ também for positiva, ou de atração se $ q $ for negativa. A carga negativa $ -Q $ no vértice de cima vai exercer uma força oposta: atraindo $ q $ se $ q $ for positiva ou repelindo se $ q $ for negativa.

Passo 4

Para que $ q $ esteja em equilíbrio, a soma vetorial dessas forças deve ser zero. Devido à simetria da pirâmide, as três forças provenientes das cargas $ Q $ na base vão se cancelar horizontalmente, deixando apenas a força vertical da carga $ -Q $ atuando sobre $ q $. Assim, para que a força resultante seja zero, a força da carga $ -Q $ deve equilibrar a força combinada das três cargas $ Q $.

Passo 5

Aplicando a Lei de Coulomb, que nos diz que a força entre duas cargas é $ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $, onde $ k $ é a constante eletrostática e $ r $ é a distância entre as cargas, podemos igualar as forças resultantes. Considerando a simetria e as distâncias envolvidas, deduzimos que para haver equilíbrio, a carga $ q $ deve ser igual a zero. Qualquer valor diferente de zero resultaria em uma força líquida não anulada, fazendo com que $ q $ se mova.

Resposta

A carga $ q $ deve ser $ q = 0 $ para permanecer em equilíbrio no centro geométrico da pirâmide.

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