Uma piscina está sendo drenada para limpeza. Se seu volume de água era de 90.000 litros e depois de um tempo t horas depois este volume diminuiu de 2.500 litros. Determinar:
a) O tempo necessário para o esvaziamento da piscina.
b) A taxa média de escoamento no intervalo [2,5]
c) A taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
a) O tempo necessário para o esvaziamento da piscina.
b) A taxa média de escoamento no intervalo [2,5]
c) A taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma piscina que tava cheia com 90.000 litros de água e, depois de um tempo $ t $ horas, essa água diminuiu em 2.500 litros. A gente precisa descobrir três coisas:
a) Quanto tempo vai levar para a piscina esvaziar completamente.
b) Qual foi a taxa média com que a água estava saindo entre 2 e 5 horas.
c) Qual é a taxa de escoamento depois de 2 horas desde o começo.
Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funciona a taxa de escoamento, que é basicamente a velocidade com que a água está saindo da piscina. Vamos usar umas contas de álgebra básica para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é taxa média de escoamento. Essa taxa ($ R
\Delta V
\Delta t $):
No nosso caso, a variação de volume ($ \Delta V
\Delta t $) é $ t $ horas. Então:
Isso nos dá a taxa média de escoamento durante o tempo $ t $.
Passo 3
Agora, vamos para a parte a), onde a gente quer saber quanto tempo vai levar para esvaziar totalmente a piscina. Sabemos que a piscina tem 90.000 litros no começo e a taxa de escoamento é $ R = \frac{2.500}{t} $ litros por hora.
O tempo total ($ T $) para esvaziar a piscina inteira é o volume total dividido pela taxa de escoamento:
Simplificando a conta:
Então, o tempo necessário para esvaziar a piscina é 36 vezes o tempo $ t $ que levou para diminuir 2.500 litros.
Passo 4
Vamos para a parte b), que pede a taxa média de escoamento no intervalo de 2 a 5 horas. Primeiro, notamos que o intervalo de tempo é 3 horas (de 2 a 5 horas).
Usando a mesma fórmula da taxa média:
Sabemos que a taxa de escoamento é constante, então a variação de volume nesse intervalo seria:
A taxa média portanto continua sendo:
Passo 5
Por último, na parte c), queremos saber a taxa de escoamento depois de 2 horas. Se a taxa de escoamento é constante, como assumimos, então a taxa após 2 horas é a mesma taxa média que já calculamos:
Resposta
a) O tempo necessário para esvaziar a piscina é $ 36, t $ horas.
b) A taxa média de escoamento no intervalo [2,5] horas é $ \frac{2.500}{t} $ litros por hora.
c) A taxa de escoamento após 2 horas do início do processo é $ \frac{2.500}{t} $ litros por hora.