Como saber se uma matriz é diagonalizável?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é: Como saber se uma matriz é diagonalizável? Estamos lidando com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores (ou valores próprios) e autovetores (ou vetores próprios) da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Isso é feito resolvendo a equação característica, que é:
Aqui, $ A $ é a matriz que estamos analisando, $ I $ é a matriz identidade de mesma dimensão que $ A $, e $ \lambda $ representa os autovalores.
Passo 3
Depois de encontrar os autovalores ($ \lambda $), o próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Isso significa resolver a equação:
onde $ v $ é o autovetor associado ao autovalor $ \lambda $.
Passo 4
Agora, precisamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, que é o número de autovetores linearmente independentes associados a ele. Em outras palavras, para cada $ \lambda $, contamos quantos vetores $ v $ satisfazem a equação acima.
Passo 5
Para a matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores deve ser igual à dimensão da matriz. Em termos simples:
onde $ n $ é a dimensão da matriz quadrada $ A $.
Resposta
Se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores da matriz for igual à dimensão da matriz, então a matriz é diagonalizável. Caso contrário, não é diagonalizável.