Como saber se uma matriz é diagonalizável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é: Como saber se uma matriz é diagonalizável? Estamos lidando com o conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender autovalores (ou valores próprios) e autovetores (ou vetores próprios) da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Isso é feito resolvendo a equação característica, que é:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, $ A $ é a matriz que estamos analisando, $ I $ é a matriz identidade de mesma dimensão que $ A $, e $ \lambda $ representa os autovalores.

Passo 3

Depois de encontrar os autovalores ($ \lambda $), o próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Isso significa resolver a equação:
lambda
onde $ v $ é o autovetor associado ao autovalor $ \lambda $.

Passo 4

Agora, precisamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, que é o número de autovetores linearmente independentes associados a ele. Em outras palavras, para cada $ \lambda $, contamos quantos vetores $ v $ satisfazem a equação acima.

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas de todos os autovalores deve ser igual à dimensão da matriz. Em termos simples:
Soma das mu=ométricas = n é
onde $ n $ é a dimensão da matriz quadrada $ A $.

Resposta

Se a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores da matriz for igual à dimensão da matriz, então a matriz é diagonalizável. Caso contrário, não é diagonalizável.

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