In a piston-and-cylinder apparatus the initial volume of air is 90 L at a pressure of 130 kPa and temperature of 26^circ C. If the pressure is double while the volume is decreased to 56 L , compute the final temperature and mass density of the air.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com a física dos gases, mais especificamente com a Lei dos Gases Ideais. Precisamos calcular a temperatura final e a densidade de massa do ar depois que a pressão e o volume mudarem no pistão. Para isso, vamos usar as fórmulas da Lei dos Gases e entender como elas se aplicam nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Volume inicial (V₁): 90 litros
  • Pressão inicial (P₁): 130 kPa
  • Temperatura inicial (T₁): 26°C
  • Pressão final (P₂): o dobro da pressão inicial, então 2 × 130 kPa = 260 kPa
  • Volume final (V₂): 56 litros
Queremos encontrar a temperatura final (T₂).
A Lei dos Gases Ideais nos diz que:
P times V = n times R times T
Onde:
  • P₁ times V₁T₁ = P₂ times V₂T₂ é a pressão
  • é o volume
  • é o número de mols
  • é a constante dos gases (aproximadamente 8,314 J/(mol·K))
  • é a temperatura em Kelvin
Como a quantidade de ar (número de mols) não muda, podemos relacionar os estados inicial e final assim:

Passo 3

Agora, vamos rearranjar essa equação para encontrar T₂ = P₂ times V₂ times T₁P₁ times V₁ :
T (K) = T (°C) + 273,15
Mas antes de calcular, precisamos converter a temperatura inicial de Celsius para Kelvin, porque as fórmulas de gases usam Kelvin. A conversão é:
T₁ = 26 + 273,15 = 299,15 , K
Então:

Passo 4

Vamos substituir os valores na equação para T₂ = 260 , kPa times 56 , L times 299,15 , K130 , kPa times 90 , L :
T₂ = 260 times 56 times 299,15130 times 90
Calculando isso:
260 times 56 = 14.560
Primeiro, vamos calcular o numerador:
14.560 times 299,15 approx 4.355.240
130 times 90 = 11.700
Agora, o denominador:
T₂ = 4.355.24011.700 approx 372,55 , K
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade de massa do ar no estado final. A densidade ( rho = mV ) é dada por:
P times V = mM times R times T
Mas para encontrar a massa ( m = P times V times MR times T ), usamos a relação da Lei dos Gases Ideais:
rho = mV = P times MR times T
Onde é a massa molar do ar (aproximadamente 0,029 kg/mol).
Rearranjando para :
Então, a densidade fica:

Passo 6

Vamos substituir os valores para calcular rho = 260 , kPa times 0,029 , kg/mol8,314 , J/(mol·K) times 372,55 , K :
260 , kPa = 260 times 1000 = 260.000 , Pa
Antes de calcular, vamos converter a pressão de kPa para Pa, porque rho = 260.000 times 0,0298,314 times 372,55 :
260.000 times 0,029 = 7.540
Então:
8,314 times 372,55 approx 3.098,17
Calculando o numerador:
rho = 7.5403.098,17 approx 2,436 , kg/m³
Calculando o denominador:
Então:
³

Resposta

A temperatura final do ar é aproximadamente 372,55 K e a densidade de massa é cerca de 2,44 kg/m³.

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