In a piston-and-cylinder apparatus the initial volume of air is 90 L at a pressure of 130 kPa and temperature of
. If the pressure is double while the volume is decreased to 56 L , compute the final temperature and mass density of the air.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com a física dos gases, mais especificamente com a Lei dos Gases Ideais. Precisamos calcular a temperatura final e a densidade de massa do ar depois que a pressão e o volume mudarem no pistão. Para isso, vamos usar as fórmulas da Lei dos Gases e entender como elas se aplicam nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- Volume inicial (V₁): 90 litros
- Pressão inicial (P₁): 130 kPa
- Temperatura inicial (T₁): 26°C
- Pressão final (P₂): o dobro da pressão inicial, então 2 × 130 kPa = 260 kPa
- Volume final (V₂): 56 litros
Queremos encontrar a temperatura final (T₂).
A Lei dos Gases Ideais nos diz que:
Onde:
-
é a pressão -
é o volume -
é o número de mols -
é a constante dos gases (aproximadamente 8,314 J/(mol·K)) -
é a temperatura em Kelvin
Como a quantidade de ar (número de mols) não muda, podemos relacionar os estados inicial e final assim:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar essa equação para encontrar
:
Mas antes de calcular, precisamos converter a temperatura inicial de Celsius para Kelvin, porque as fórmulas de gases usam Kelvin. A conversão é:
Então:
Passo 4
Vamos substituir os valores na equação para
:
Calculando isso:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
Agora, o denominador:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade de massa do ar no estado final. A densidade (
) é dada por:
Mas para encontrar a massa (
), usamos a relação da Lei dos Gases Ideais:
Onde
é a massa molar do ar (aproximadamente 0,029 kg/mol).
Rearranjando para
:
Então, a densidade fica:
Passo 6
Vamos substituir os valores para calcular
:
Antes de calcular, vamos converter a pressão de kPa para Pa, porque
:
Então:
Calculando o numerador:
Calculando o denominador:
Então:
Resposta
A temperatura final do ar é aproximadamente 372,55 K e a densidade de massa é cerca de 2,44 kg/m³.
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