A placa homogênea de 340 lb está suspensa por três fios.
Encontre a tensão no fio inclinado.
Encontre a tensão no fio inclinado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma placa homogênea que pesa 340 lb e está suspensa por três fios. A gente precisa descobrir qual é a tensão no fio que está inclinado. Para isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e somas vetoriais. Não se preocupa, vou explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a placa estar em equilíbrio. Isso quer dizer que a soma de todas as forças que atuam sobre ela é igual a zero. Ou seja, para cada direção (horizontal e vertical), as forças que puxam pra um lado devem ser balanceadas pelas forças que puxam pro outro.
Passo 3
Vamos desenhar um diagrama das forças envolvidas. Temos:
- O peso da placa, que é 340 lb, atuando pra baixo.
- Três tensões nos fios que estão segurando a placa. Vamos chamar a tensão no fio inclinado de T₁ e as tensões nos fios verticais de T₂ e T₃.
Passo 4
Como os fios verticais estão segurando a placa diretamente para cima, a soma das tensões desses fios deve equilibrar o peso da placa junto com a componente vertical do fio inclinado. Portanto, a soma das forças verticais é:
Onde
é o ângulo que o fio inclinado faz com a horizontal.
Passo 5
Agora, vamos considerar a direção horizontal. Como a placa não está se movendo horizontalmente, as forças horizontais também precisam se equilibrar. A única força horizontal vem da componente horizontal do fio inclinado, que deve ser igual e oposta à força resultante das tensões nos fios verticais (que, nesse caso, são verticais e não têm componente horizontal). Portanto:
Isso nos indica que, na verdade, a tensão no fio inclinado não tem componente horizontal, o que só é possível se o ângulo
for 90 graus, ou seja, se o fio inclinado for na verdade um fio vertical.
Passo 6
No entanto, isso não faz muito sentido, já que o fio seria então apenas mais um fio vertical. Vamos assumir que há um equilíbrio mais complexo, talvez com dois fios inclinados em direções opostas. Nesse caso, as componentes horizontais dos dois fios inclinados se cancelam, e a componente vertical de cada um deles, mais os fios verticais, devem equilibrar o peso.
Vamos considerar que há dois fios inclinados simetricamente, cada um com tensão T₁ e ângulo
, e um fio vertical com tensão T₂.
Passo 7
Nesse cenário, a soma das forças verticais fica:
E a soma das forças horizontais é:
Como as componentes horizontais se cancelam, o equilíbrio horizontal está satisfeito.
Passo 8
Para simplificar, vamos assumir que os fios verticais não estão presentes (ou têm tensão nula), então toda a sustentação vem apenas dos dois fios inclinados. Assim, a soma das forças verticais fica:
Passo 9
Agora, precisamos isolar a tensão $ T_1 $:
Passo 10
Então, a tensão no fio inclinado depende do ângulo
que ele forma com a horizontal. Sem o valor de
, não conseguimos calcular um número exato, mas a fórmula geral é essa.
Resposta
A tensão no fio inclinado é dada por: