Uma placa metálica circular com um metro de raio está colocada com centro na origem do plano e é aquecida de modo que a temperatura num ponto é dada por graus, onde e estão em metros. Encontre a maior e a menor temperatura na placa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma placa metálica circular com raio de 1 metro, centrada na origem do plano . A temperatura em qualquer ponto dessa placa é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a maior e a menor temperatura na placa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente:
  1. Encontrar pontos críticos: onde as derivadas parciais em relação a e são zero.
  2. Analisar a fronteira da placa: já que a placa é limitada pelo círculo .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da placa. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e as igualamos a zero.
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação :
Substituindo na equação :
Então:

Passo 4

Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro da placa, ou seja, se satisfaz :
Como $ \frac{5}{32} < 1$, o ponto $ \left(-\frac{1}{8}, -\frac{3}{8}\right) $ está dentro da placa.

Passo 5

Vamos calcular a temperatura nesse ponto:
Calculando cada termo:
Somando tudo dentro do colchete:
Então:

Passo 6

Agora, precisamos analisar a temperatura na fronteira da placa, onde . Podemos parametrizar a fronteira usando:
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Usando identidades trigonométricas:
Então:

Passo 7

Para encontrar os extremos de na fronteira, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Usando a identidade :
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, os valores de que nos interessam são:

Passo 8

Calculando nesses pontos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Calculando:
  1. Para :

Passo 9

Agora, comparamos todos os valores encontrados:
  • Ponto interno: graus
  • Fronteira:
    • : graus
    • : graus
    • : graus
Então, a maior temperatura é aproximadamente graus e a menor é graus.

Resposta

A maior temperatura na placa é aproximadamente graus e a menor temperatura é graus.

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