Uma placa metálica circular com um metro de raio está colocada com centro na origem do plano
e é aquecida de modo que a temperatura num ponto
é dada por
graus, onde
e
estão em metros. Encontre a maior e a menor temperatura na placa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma placa metálica circular com raio de 1 metro, centrada na origem do plano
. A temperatura em qualquer ponto
dessa placa é dada por:
Nosso objetivo é encontrar a maior e a menor temperatura na placa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente:
- Encontrar pontos críticos: onde as derivadas parciais em relação a
e são zero. - Analisar a fronteira da placa: já que a placa é limitada pelo círculo
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos dentro da placa. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e as igualamos a zero.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação
:
Substituindo
na equação
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro da placa, ou seja, se satisfaz
:
Como $ \frac{5}{32} < 1$, o ponto $ \left(-\frac{1}{8}, -\frac{3}{8}\right) $ está dentro da placa.
Passo 5
Vamos calcular a temperatura nesse ponto:
Calculando cada termo:
Somando tudo dentro do colchete:
Então:
Passo 6
Agora, precisamos analisar a temperatura na fronteira da placa, onde
. Podemos parametrizar a fronteira usando:
Substituindo na expressão de
:
Simplificando:
Usando identidades trigonométricas:
Então:
Passo 7
Para encontrar os extremos de
na fronteira, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Usando a identidade
:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, os valores de
que nos interessam são:
Passo 8
Calculando
nesses pontos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Calculando:
- Para
:
Passo 9
Agora, comparamos todos os valores encontrados:
- Ponto interno:
graus - Fronteira:
-
: graus -
: graus -
: graus
-
Então, a maior temperatura é aproximadamente
graus e a menor é
graus.
Resposta
A maior temperatura na placa é aproximadamente
graus e a menor temperatura é
graus.
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B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
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