Resolva as seguintes EDO y' = 3 x raiz(2 x^2 - 4)

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial ordinária (EDO) . O objetivo aqui é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver isso, vamos usar o método de integração, que faz parte do cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais clara:
Nosso objetivo é encontrar em função de , então precisamos integrar ambos os lados em relação a .

Passo 3

Vamos focar na parte da direita da equação:
Para resolver essa integral, podemos usar uma técnica chamada substituição. A substituição simplifica a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 4

Escolhemos uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Isso implica que:

Passo 5

Vamos substituir e na integral original:
Note que os termos se cancelam, o que simplifica a integral.

Passo 6

Agora, a integral fica:
Integrando em relação a , temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Simplificando a expressão:
Então:
Agora, voltamos à nossa substituição original :

Resposta

A solução da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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