Uma placa retangular de 6 m de altura e 5 m de largura bloqueia a extremidade de um canal de água doce de 5 m de profundidade, conforme mostrado na abaixo. A placa é articulada em torno de um eixo horizontal ao longo de sua borda superior através de um ponto A e é impedido de abrir por uma cumeeira fixa no ponto B. Determine a força exercida na placa pela crista.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma placa retangular de 6 metros de altura e 5 metros de largura que está bloqueando a extremidade de um canal com água doce de 5 metros de profundidade. A placa está fixada no topo pelo ponto A e não pode se abrir por causa de uma cumeeira fixa no ponto B. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força que essa crista (a cumeeira no ponto B) está exercendo na placa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de hidrostática, que trata das forças exercidas por fluidos em equilíbrio. Também vamos aplicar um pouco de estática para balancear os torques e encontrar a força que a cumeeira exerce. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a água exerce força na placa. A pressão da água aumenta com a profundidade, e a força total que a água exerce na placa pode ser calculada usando a fórmula da força hidrostática:
Onde:
-
é a densidade da água (aproximadamente ) -
é a aceleração da gravidade ( ) -
é a profundidade média onde a força atua -
é a área da placa submersa
Passo 3
Vamos calcular a área da placa que está submersa. A placa tem 6 metros de altura, mas a água no canal tem 5 metros de profundidade. Então, a parte da placa que está submersa é de 5 metros de altura e 5 metros de largura.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a profundidade média
. Como a pressão varia linearmente com a profundidade, a força resultante atua no centro de pressão, que fica no meio da altura da coluna de água.
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular a força
:
Passo 6
Agora que temos a força total que a água exerce na placa (
), precisamos considerar como essa força está distribuída e como a cumeeira no ponto B está equilibrando essa força. Para isso, vamos analisar os torques (momentos de força) em relação ao ponto A.
O torque devido à força da água é dado por:
Onde
é a distância horizontal do ponto A até o ponto onde a força atua. Como a força atua no centro de pressão a
do fundo, e a placa tem 5 metros de largura, a distância
é igual a metade da largura:
Então:
Passo 7
Para que a placa esteja em equilíbrio, o torque exercido pela cumeeira no ponto B deve equilibrar o torque da força da água. Ou seja:
Sabemos que o torque é o produto da força pela distância. A distância da cumeeira ao ponto A é a largura da placa, que é 5 metros. Então, podemos encontrar a força
que a cumeeira exerce:
Resposta
A força exercida na placa pela crista (cumeeira no ponto B) é de aproximadamente 306.375 N.
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