Uma placa retangular de madeira tem dimensões 40cm × 25 cm. Através de um fio que passa pelo seu baricentro, ela é presa ao teto de uma sala, permanecendo horizontalmente a 2m do assoalho e a 1m do teto. Bem junto ao fio, no teto, há uma lâmpada cujo filamento tem dimensões desprezíveis. Determine a área da sombra projetada pela placa no assoalho, em m quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma placa de madeira retangular que está presa no teto por um fio, formando uma espécie de pendente. A placa tem 40 cm por 25 cm e está a 2 metros do chão e a 1 metro do teto. Tem também uma lâmpada no teto perto do fio. Queremos descobrir qual é a área da sombra que a placa projeta no chão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de semelhança de triângulos e proporções. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos converter as medidas da placa de centímetros para metros para facilitar os cálculos. Sabemos que 1 metro = 100 centímetros.
40 , cm = 0,4 , m 25 , cm = 0,25 , m
Então, a placa tem dimensões de 0,4 metros por 0,25 metros.

Passo 3

Agora, vamos analisar as alturas envolvidas. A placa está a 2 metros do chão e a lâmpada está a 1 metro acima da placa, totalizando uma altura de 3 metros do chão até a lâmpada.
Aâââ

Passo 4

Para encontrar o tamanho da sombra projetada no chão, podemos usar a ideia de semelhança de triângulos. A luz da lâmpada serve como ponto focal, e a sombra da placa no chão vai ser proporcional ao tamanho da placa e às distâncias envolvidas.
A proporção de semelhança é dada por:
Fator de escala = Distância da lâmpada ao chãoDistância da lâmpada à placa = 3 , m1 , m = 3 ââãââà

Passo 5

Esse fator de escala nos diz que a sombra será 3 vezes maior que a placa em cada dimensão. Como a área é uma medida bidimensional, precisamos multiplicar o fator de escala ao quadrado para encontrar a área da sombra.
Área da sombra = Área da placa times (Fator de escala)^2 ÁÁ
Primeiro, calculamos a área da placa:
Área da placa = 0,4 , m times 0,25 , m = 0,1 , m^2 Á
Agora, aplicamos o fator de escala ao quadrado:
Área da sombra = 0,1 , m^2 times 3^2 = 0,1 , m^2 times 9 = 0,9 , m^2 Á

Resposta

A área da sombra projetada pela placa no assoalho é de 0,9 metros quadrados.

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