As placas de um capacitor esférico têm 38.0 mm e 400 mm de raio. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual é a área das placas de um capacitor de placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas?

Passo 1

Então, a gente tem um capacitor esférico com duas placas esféricas: uma de 38,0 mm de raio e outra de 400 mm de raio. A pergunta quer saber duas coisas: (a) qual é a capacitância desse capacitor e (b) qual seria a área das placas de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de capacitância tanto para capacitores esféricos quanto para capacitores de placas paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a capacitância do capacitor esférico. A fórmula para a capacitância C = 4 pi varepsilon0 R1 R2R2 - R1 de um capacitor esférico com duas esferas concêntricas é:
onde:
  • é a permissividade do vácuo, aproximadamente ,
  • é o raio da esfera menor,
  • é o raio da esfera maior.

Passo 3

Vamos converter os raios de milímetros para metros para manter as unidades consistentes:
  • C = 4 pi (8,85 times 10^-12) 0,038 times 0,4000,400 - 0,038
Substituindo esses valores na fórmula:

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o denominador 0,400 - 0,038 = 0,362 , m :
C = 4 pi (8,85 times 10^-12) 0,038 times 0,4000,362
Agora, substituindo esse valor na fórmula:

Passo 5

Calculando o numerador 0,038 times 0,400 = 0,0152 , m^2 :
C = 4 pi (8,85 times 10^-12) 0,01520,362
Agora, a fórmula fica:

Passo 6

Dividindo 0,01520,362 approx 0,042 , m por C = 4 pi (8,85 times 10^-12) times 0,042 :
Substituindo de volta:

Passo 7

Calculando 4 pi approx 12,566 :
C = 12,566 times 8,85 times 10^-12 times 0,042
Agora, multiplicando:

Passo 8

Multiplicando os números:
12,566 times 8,85 times 10^-12 = 1,112 times 10^-10
1,112 times 10^-10 times 0,042 approx 4,67 times 10^-12 , F

Passo 9

Agora, para a parte (b), queremos a área C = varepsilon0 Ad das placas de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas. A fórmula para a capacitância de um capacitor de placas paralelas é:
onde:
  • é a área das placas,
  • é a distância entre as placas.

Passo 10

Rearranjando a fórmula para encontrar A = C times dvarepsilon0 :
A = 4,67 times 10^-12 times 0,3628,85 times 10^-12
Sabemos que e . Substituindo:

Passo 11

Calculando o numerador:
4,67 times 10^-12 times 0,362 approx 1,69 times 10^-12
Dividindo pelo A = 1,69 times 10^-128,85 times 10^-12 approx 0,191 , m^2 :

Resposta

(a) A capacitância do capacitor esférico é aproximadamente .
(b) A área das placas do capacitor de placas paralelas é aproximadamente .

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