As placas de um capacitor esférico têm 38.0 mm e 400 mm de raio. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual é a área das placas de um capacitor de placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas?
Passo 1
Então, a gente tem um capacitor esférico com duas placas esféricas: uma de 38,0 mm de raio e outra de 400 mm de raio. A pergunta quer saber duas coisas: (a) qual é a capacitância desse capacitor e (b) qual seria a área das placas de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas. Para resolver isso, vamos precisar entender as fórmulas de capacitância tanto para capacitores esféricos quanto para capacitores de placas paralelas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a capacitância do capacitor esférico. A fórmula para a capacitância
de um capacitor esférico com duas esferas concêntricas é:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, aproximadamente , -
é o raio da esfera menor, -
é o raio da esfera maior.
Passo 3
Vamos converter os raios de milímetros para metros para manter as unidades consistentes:
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o denominador
:
Agora, substituindo esse valor na fórmula:
Passo 5
Calculando o numerador
:
Agora, a fórmula fica:
Passo 6
Dividindo
por
:
Substituindo de volta:
Passo 7
Calculando
:
Agora, multiplicando:
Passo 8
Multiplicando os números:
Passo 9
Agora, para a parte (b), queremos a área
das placas de um capacitor de placas paralelas que tem a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas. A fórmula para a capacitância
de um capacitor de placas paralelas é:
onde:
-
é a área das placas, -
é a distância entre as placas.
Passo 10
Rearranjando a fórmula para encontrar
:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Passo 11
Calculando o numerador:
Dividindo pelo
:
Resposta
(a) A capacitância do capacitor esférico é aproximadamente
.
(b) A área das placas do capacitor de placas paralelas é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
As capacitâncias
e
, com
, são ligadas a uma bateria primeiro separadamente, depois em série e depois em paralelo. Coloque os arranjos na ordem da carga armazenada, começando pela maior.
Inicialmente, uma capacitância
está ligada a uma bateria. Em seguida, uma capacitância
é ligada em paralelo com
. (a) A diferença de potencial entre as placas de
aumenta, diminui ou permanece a mesma? (b) A capacitância equivalente de
e
é maior, menor ou igual à carga armazenada originalmente em
?
Qual a capacitância necessária para armazenar uma energia de 10 kJ, com uma diferença de potencial de 1000 V?
Qual a energia armazenada em
de ar em um dia de tempestade, no qual o módulo do campo elétrico da atmosfera é 150 V/m?