As placas do capacitor de placas paralelas da figura têm área A, cargas +Q e -Q, e estão separadas por uma distância d. A metade inferior do espaço entre as placas é preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica kappa1 e a metade superior é preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica kappa2. (a) Calcule o módulo do vetor deslocamento D em cada dielétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um capacitor de placas paralelas com área , carregadas com e , separadas por uma distância . O espaço entre as placas está dividido ao meio: a metade de baixo tem um material dielétrico com constante dielétrica e a metade de cima tem . Nosso objetivo aqui é calcular o módulo do vetor deslocamento elétrico em cada um desses dielétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como o vetor se relaciona com as cargas e os materiais dielétricos presentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor deslocamento elétrico D = varepsilon0 E + P . Ele é uma grandeza que ajuda a simplificar a aplicação das leis de Maxwell em materiais dielétricos. A relação fundamental é:
D = varepsilon0 kappa E
onde:
  • é a permissividade do vácuo,
  • é o campo elétrico,
  • é a polarização do material.
Em materiais dielétricos lineares e isotrópicos, podemos simplificar essa relação usando a constante dielétrica :

Passo 3

Agora, vamos utilizar a Lei de Gauss para o vetor oint D cdot dA = Qlivre . A Lei de Gauss para D cdot A = Q nos diz que:
No nosso caso, as placas do capacitor têm carga livre e . Como estamos lidando com simetria plana, podemos simplificar a integral para:
onde é a magnitude de e é a área da placa.

Passo 4

Como o espaço entre as placas está dividido em duas partes com diferentes constantes dielétricas, o vetor D = QA é contínuo na interface entre os dois dielétricos. Isso significa que o valor de é o mesmo em ambas as regiões. Portanto, podemos calcular usando a relação acima:
Esse valor de é o mesmo tanto para quanto para , já que não há carga livre nas interfaces dos dielétricos.

Passo 5

Finalmente, concluímos que o módulo do vetor deslocamento elétrico é igual a em ambos os materiais dielétricos presentes entre as placas do capacitor.

Resposta

O módulo do vetor deslocamento elétrico D = QA em cada dielétrico é:

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