As placas do capacitor de placas paralelas da figura têm área
, cargas
e
, e estão separadas por uma distância
. A metade inferior do espaço entre as placas é preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica
e a metade superior é preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica
. (a) Calcule o módulo do vetor deslocamento
em cada dielétrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um capacitor de placas paralelas com área
, carregadas com
e
, separadas por uma distância
. O espaço entre as placas está dividido ao meio: a metade de baixo tem um material dielétrico com constante dielétrica
e a metade de cima tem
. Nosso objetivo aqui é calcular o módulo do vetor deslocamento elétrico
em cada um desses dielétricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como o vetor
se relaciona com as cargas e os materiais dielétricos presentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor deslocamento elétrico
. Ele é uma grandeza que ajuda a simplificar a aplicação das leis de Maxwell em materiais dielétricos. A relação fundamental é:
onde:
-
é a permissividade do vácuo, -
é o campo elétrico, -
é a polarização do material.
Em materiais dielétricos lineares e isotrópicos, podemos simplificar essa relação usando a constante dielétrica
:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a Lei de Gauss para o vetor
. A Lei de Gauss para
nos diz que:
No nosso caso, as placas do capacitor têm carga livre
e
. Como estamos lidando com simetria plana, podemos simplificar a integral para:
onde
é a magnitude de
e
é a área da placa.
Passo 4
Como o espaço entre as placas está dividido em duas partes com diferentes constantes dielétricas, o vetor
é contínuo na interface entre os dois dielétricos. Isso significa que o valor de
é o mesmo em ambas as regiões. Portanto, podemos calcular
usando a relação acima:
Esse valor de
é o mesmo tanto para
quanto para
, já que não há carga livre nas interfaces dos dielétricos.
Passo 5
Finalmente, concluímos que o módulo do vetor deslocamento elétrico
é igual a
em ambos os materiais dielétricos presentes entre as placas do capacitor.
Resposta
O módulo do vetor deslocamento elétrico
em cada dielétrico é: