Placas de metal são inspecionadas regularmente quanto ao número de fendas encontrando-se em média 2,8 fendas por 3 m^2. Calcule a probabilidade de se obter:
b) Pelo menos uma fendas em 3 m^2 do material.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem placas de metal que, em média, têm 2,8 fendas por 3 metros quadrados. A pergunta é: qual a probabilidade de ter pelo menos uma fenda nesses 3 metros quadrados? Vamos usar o modelo de distribuição de Poisson para resolver isso, que é ótimo para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de espaço ou tempo quando os eventos ocorrem de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada quando queremos saber a probabilidade de um certo número de eventos (no caso, fendas) acontecer em um intervalo fixo, sabendo a média de eventos que acontecem nesse intervalo. A fórmula da probabilidade de exatamente k eventos é:
Onde:
  • é a média de eventos (no nosso caso, 2,8 fendas)
  • k é o número de eventos que queremos calcular a probabilidade
  • é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828)

Passo 3

A gente quer a probabilidade de pelo menos uma fenda, ou seja, . Isso é o mesmo que 1 menos a probabilidade de não ter nenhuma fenda ( ).
Então,

Passo 4

Vamos calcular usando a fórmula da distribuição de Poisson:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor de :

Passo 6

Substituindo na equação de :

Resposta

A probabilidade de encontrar pelo menos uma fenda em 3 metros quadrados do material é de aproximadamente 93,92%.

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