A reta r de equação y=x2 intercepta a circunferência de centro na origem e raio raiz5 em dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são ambas positivas. Determine
a equação da circunferência e os pontos P e Q.

Passo 1

Então, temos uma reta com a equação que cruza uma circunferência centrada na origem com raio . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa circunferência e determinar os pontos de interseção e , onde tem coordenadas positivas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação geral de uma circunferência. Ela é dada por:
x^2 + y^2 = r^2
onde é o raio da circunferência.

Passo 3

No nosso caso, o centro da circunferência está na origem x^2 + y^2 = (raiz5)^2 e o raio é x^2 + y^2 = 5 . Substituindo esses valores na equação geral, temos:
Então, esta é a equação da nossa circunferência.

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos x^2 + ( x2 )^2 = 5 e x^2 + x^24 = 5 , precisamos resolver o sistema formado pela equação da reta e da circunferência. Vamos substituir na equação da circunferência:

Passo 5

Para resolver essa equação, somamos os termos de 4x^2 + x^24 = 5 :
5x^24 = 5
5x^2 = 20
Multiplicando ambos os lados por 4:
x^2 = 4
Dividindo por 5:
x = pm 2
Extraindo a raiz quadrada:

Passo 6

Agora que temos os valores de y = 22 = 1 , vamos encontrar os correspondentes valores de y = -22 = -1 usando a equação da reta :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A equação da circunferência é . Os pontos de interseção são e .

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