Em um plano cartesiano, construa um triângulo cujos vértices são as intersecções das retas r: 2 x+6 y=6, s: x-2 y+7=0 e t: y=-2 x+11.
Professor(a): Veja a resposta desta atividade na Assessoria Pedagógica.
a ) Classifique esse triângulo quanto à medida de seus ângulos internos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é construir um triângulo no plano cartesiano usando as interseções de três retas dadas pelas equações , e . Depois disso, a gente vai classificar esse triângulo com base nos ângulos internos. Para isso, vamos precisar entender como encontrar pontos de interseção entre retas e como calcular os ângulos de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas. Ou seja, onde duas retas se cruzam. Vamos começar encontrando a interseção entre as retas r: 2x + 6y = 6 e s: x - 2y + 7 = 0 .
Temos:
Vamos resolver esse sistema de equações para achar e .

Passo 3

Vamos resolver a equação da reta x = 2y - 7 para 2(2y - 7) + 6y = 6 :
4y - 14 + 6y = 6
Agora, substituímos esse valor de 10y - 14 = 6 na equação da reta 10y = 20 :
y = 2
x = 2(2) - 7
x = 4 - 7
x = -3
Agora que temos , substituímos de volta para encontrar :
Então, o ponto de interseção entre e é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre as retas r: 2x + 6y = 6 e t: y = -2x + 11 .
Temos:
2x + 6(-2x + 11) = 6
2x - 12x + 66 = 6
Substituímos a expressão de -10x + 66 = 6 da reta -10x = -60 na equação da reta x = 6 :
y = -2(6) + 11
y = -12 + 11
y = -1
Agora, encontramos usando a equação de :
Então, o ponto de interseção entre e é .

Passo 5

Por último, vamos encontrar a interseção entre as retas s: x - 2y + 7 = 0 e t: y = -2x + 11 .
Temos:
x - 2(-2x + 11) + 7 = 0
x + 4x - 22 + 7 = 0
Substituímos a expressão de 5x - 15 = 0 da reta 5x = 15 na equação da reta x = 3 :
y = -2(3) + 11
y = -6 + 11
y = 5
Agora, encontramos usando a equação de :
Então, o ponto de interseção entre e é .

Passo 6

Agora que temos os três vértices do triângulo: d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 , AB = raiz(6 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2 e AB = raiz9^2 + (-3)^2 , vamos calcular os comprimentos dos lados usando a fórmula da distância entre dois pontos:
AB = raiz81 + 9
Vamos calcular:
  • Lado AB:
AB = raiz90
AB = 3raiz10
AC = raiz(3 - (-3))^2 + (5 - 2)^2
AC = raiz6^2 + 3^2
AC = raiz36 + 9
  • Lado AC:
AC = raiz45
AC = 3raiz5
BC = raiz(3 - 6)^2 + (5 - (-1))^2
BC = raiz(-3)^2 + 6^2
BC = raiz9 + 36
  • Lado BC:
BC = raiz45
BC = 3raiz5

Passo 7

Agora, com os comprimentos dos lados, podemos identificar o tipo de triângulo pelos seus ângulos internos. Observe que os lados AB^2 = (3raiz10)^2 = 9 times 10 = 90 e AC^2 + BC^2 = (3raiz5)^2 + (3raiz5)^2 = 45 + 45 = 90 têm o mesmo comprimento ( ), o que significa que o triângulo é isósceles.
Para classificar os ângulos, vamos verificar se algum deles é reto, agudo ou obtuso.
Vamos usar o teorema de Pitágoras para verificar:
Se , então o triângulo tem um ângulo reto.
Calculando:
Como , o triângulo tem um ângulo reto.

Resposta

O triângulo é isósceles e possui um ângulo reto, classificando-o como um triângulo isósceles retângulo.

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