O plano pi 1 tem equação 4 x-y+5 z=2. Para cada um dos planos pi determine se pi 1 e pi são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois.
(b) pi: x-y-z=3

Passo 1

Vamos resolver o exercício juntos! A questão nos pede para verificar se os planos pi1 e pi são paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois. Para isso, vamos usar o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores normais dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
  • Para o plano pi1: 4x - y + 5z = 2, o vetor normal é n1 = 4 -1 5 .
  • Para o plano pi: x - y - z = 3, o vetor normal é n = 1 -1 -1 .

Passo 3

Agora, vamos verificar se os planos são paralelos. Dois planos são paralelos se os seus vetores normais forem múltiplos um do outro, ou seja, se existir um número real k tal que n1 = k cdot n.
Vamos comparar os componentes dos vetores:
41 = 4, -1-1 = 1, 5-1 = -5
Como os valores não são iguais, não existe um k que satisfaça todas as proporções. Assim, os planos não são paralelos.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se os planos são perpendiculares. Dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais forem perpendiculares, ou seja, se o produto escalar entre eles for zero.
Calculamos o produto escalar:
n1 cdot n = (4)(1) + (-1)(-1) + (5)(-1) = 4 + 1 - 5 = 0
Como o resultado é zero, os vetores normais são perpendiculares, o que significa que os planos são perpendiculares.

Resposta

Os planos pi1 e pi são perpendiculares.

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