Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(e)
dada por
;
(e)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma transformação
que pega vetores de
e manda para
. A função está definida por
. Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se
segue as regras dessas transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e em . - Homogeneidade:
para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Se
cumprir essas duas propriedades, então ela é linear.
Passo 3
Vamos verificar a Aditividade para a transformação
. Seja
e
. Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Comparando os dois resultados:
Eles são iguais, então a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a Homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
. Calculamos
:
E calculamos
:
Novamente, os resultados são iguais:
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Sim, a transformação
é linear.