Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(e) T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, 2 y, 0);

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma transformação que pega vetores de e manda para . A função está definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se segue as regras dessas transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e em .
  2. Homogeneidade: para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Se cumprir essas duas propriedades, então ela é linear.

Passo 3

Vamos verificar a Aditividade para a transformação T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = (x1 + x2, 2(y1 + y2), 0) . Seja T(u) + T(v) = (x1, 2y1, 0) + (x2, 2y2, 0) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2, 0) e (x1 + x2, 2(y1 + y2), 0) = (x1 + x2, 2y1 + 2y2, 0) . Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Comparando os dois resultados:
Eles são iguais, então a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a Homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx, 2(cy), 0) = (cx, c(2y), 0) um escalar qualquer e cT(u) = c(x, 2y, 0) = (cx, c cdot 2y, 0) . Calculamos (cx, c(2y), 0) = (cx, c cdot 2y, 0) :
E calculamos :
Novamente, os resultados são iguais:
Então, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Sim, a transformação é linear.

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