Verifique se as transformações abaixo são lineares:
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dada por
;
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, precisamos lembrar dos conceitos de transformações lineares e das propriedades que elas devem satisfazer.
Passo 2
Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar essas propriedades para a transformação dada.
Passo 3
Verificando a propriedade da adição:
Sejam
e
.
Primeiro, calculamos
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Somando os dois resultados:
Simplificando:
Observamos que
, então a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Seja
um escalar e
.
Primeiro, calculamos
:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Multiplicando por
:
Vemos que
, então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as propriedades de adição e multiplicação por escalar são atendidas, a transformação
é linear.