Verifique se as transformações abaixo são lineares:
© T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x+2 y, y,-x+3 y);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação definida por . Nosso objetivo é verificar se essa transformação é linear. Para isso, precisamos lembrar dos conceitos de transformações lineares e das propriedades que elas devem satisfazer.

Passo 2

Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor e escalar .
Vamos verificar essas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a propriedade da adição:
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2), y1 + y2, -(x1 + x2) + 3(y1 + y2)) e = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, y1 + y2, -x1 - x2 + 3y1 + 3y2) .
Primeiro, calculamos T(u) = (x1 + 2y1, y1, -x1 + 3y1) :
T(v) = (x2 + 2y2, y2, -x2 + 3y2)
Simplificando:
T(u) + T(v) = (x1 + 2y1 + x2 + 2y2, y1 + y2, -x1 + 3y1 - x2 + 3y2)
Agora, calculamos = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2, y1 + y2, -x1 - x2 + 3y1 + 3y2) :
Somando os dois resultados:
Simplificando:
Observamos que , então a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Seja T(ku) = T(kx, ky) = (kx + 2ky, ky, -kx + 3ky) um escalar e = (k(x + 2y), ky, k(-x + 3y)) .
Primeiro, calculamos T(u) = (x + 2y, y, -x + 3y) :
kT(u) = (k(x + 2y), ky, k(-x + 3y))
Simplificando:
Agora, calculamos :
Multiplicando por :
Vemos que , então a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as propriedades de adição e multiplicação por escalar são atendidas, a transformação é linear.

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