No plano pi: x+2 y-z=5 considere as seguintes operações:
& (x, y, z)+(x^prime, y^prime, z^prime):=(x+x^prime-2, y+y^prime-2, z+z^prime-1) & lambda(x, y, z):=(lambda x+(2-2 lambda), lambda y+(2-2 lambda), lambda z+(1-lambda))
Verifique se com estas operações pi é um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto dos pontos que estão no plano pi: x + 2y - z = 5, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da maneira que foi dada, forma um espaço vetorial. Ou seja, a gente precisa ver se essas operações obedecem às regras que definem um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial e checar um por um se eles funcionam com essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada operação que foi dada. A adição de dois vetores (x, y, z) e (x', y', z') está definida como:
(x, y, z) + (x', y', z') = (x + x' - 2, y + y' - 2, z + z' - 1)
E a multiplicação por um escalar lambda está definida como:
lambda(x, y, z) = (lambda x + (2 - 2lambda), lambda y + (2 - 2lambda), lambda z + (1 - lambda))
Essas definições são um pouco diferentes das operações padrão de espaço vetorial, então a gente precisa ver se, mesmo com essas mudanças, podemos ter um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos lembrar os axiomas de um espaço vetorial. Basicamente, a gente precisa checar se as operações de adição e multiplicação por escalar satisfazem as seguintes propriedades:
  1. Fechamento: A soma de dois vetores está no conjunto, e o produto de um vetor por um escalar também está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição.
  3. Associatividade da adição.
  4. Elemento neutro: Existe um vetor zero que, quando adicionado a qualquer vetor, não muda o vetor.
  5. Elemento inverso: Para todo vetor, existe outro vetor que soma com ele dá o vetor zero.
  6. Compatibilidade da multiplicação por escalar: lambda(mu v) = (lambdamu)v.
  7. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: lambda(v + w) = lambda v + lambda w.
  8. Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (lambda + mu)v = lambda v + mu v.
  9. Multiplicação por escalar 1: 1v = v.
Vamos checar cada um desses axiomas com as operações dadas.

Passo 4

1. Fechamento sob adição e multiplicação por escalar:
Como estamos trabalhando no plano pi: x + 2y - z = 5, precisamos ver se, ao somar dois vetores do plano usando a operação dada, o resultado ainda pertence a pi.
Vamos pegar dois vetores quaisquer (x, y, z) e (x', y', z') em pi. Isso significa que:
x + 2y - z = 5
x' + 2y' - z' = 5
A soma deles, segundo a operação dada, é:
(x + x' - 2, y + y' - 2, z + z' - 1)
Agora, vamos verificar se esse novo vetor satisfaz a equação do plano:
(x + x' - 2) + 2(y + y' - 2) - (z + z' - 1) = x + x' - 2 + 2y + 2y' - 4 - z - z' + 1
= (x + 2y - z) + (x' + 2y' - z') - 5
= 5 + 5 - 5 = 5
Então, a soma está no plano pi.
Agora, para a multiplicação por escalar, tomamos um vetor (x, y, z) em pi e um escalar lambda, e aplicamos a operação:
(lambda x + (2 - 2lambda), lambda y + (2 - 2lambda), lambda z + (1 - lambda))
Vamos verificar se esse vetor está em pi:
(lambda x + (2 - 2lambda)) + 2(lambda y + (2 - 2lambda)) - (lambda z + (1 - lambda)) = lambda x + 2 - 2lambda + 2lambda y + 4 - 4lambda - lambda z -1 + lambda
= lambda x + 2lambda y - lambda z + (2 + 4 - 1) + (-2lambda - 4lambda + lambda)
= lambda(x + 2y - z) + 5 - 5lambda
= lambda cdot 5 + 5 - 5lambda = 5
Então, o resultado também está no plano pi.

Passo 5

2. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se (x, y, z) + (x', y', z') = (x', y', z') + (x, y, z).
Usando a definição de adição:
(x + x' - 2, y + y' - 2, z + z' - 1) = (x' + x - 2, y' + y - 2, z' + z - 1)
Claramente, as componentes são iguais porque a ordem de adição não altera o resultado. Então, a adição é comutativa.

Passo 6

3. Associatividade da adição:
Precisamos ver se [(x, y, z) + (x', y', z')] + (x'', y'', z'') = (x, y, z) + [(x', y', z') + (x'', y'', z'')].
Vamos calcular cada lado usando a definição de adição:
Primeiro, o lado esquerdo:
[(x + x' - 2, y + y' - 2, z + z' - 1)] + (x'', y'', z'') = (x + x' - 2 + x'' - 2, y + y' - 2 + y'' - 2, z + z' - 1 + z'' -1)
= (x + x' + x'' - 4, y + y' + y'' - 4, z + z' + z'' - 2)
Agora, o lado direito:
(x, y, z) + [(x' + x'' - 2, y' + y'' - 2, z' + z'' - 1)] = (x + x' + x'' - 2 - 2, y + y' + y'' - 2 - 2, z + z' + z'' - 1 -1)
= (x + x' + x'' - 4, y + y' + y'' - 4, z + z' + z'' - 2)
Os dois lados são iguais, então a adição é associativa.

Passo 7

4. Existência do elemento neutro:
A gente precisa encontrar um vetor (ex, ey, ez) tal que, para todo vetor (x, y, z) em pi, a soma (x, y, z) + (ex, ey, ez) = (x, y, z).
Usando a definição de adição:
(x + ex - 2, y + ey - 2, z + ez - 1) = (x, y, z)
Isso implica que:
x + ex - 2 = x Rightarrow ex - 2 = 0 Rightarrow ex = 2
y + ey - 2 = y Rightarrow ey - 2 = 0 Rightarrow ey = 2
z + ez - 1 = z Rightarrow ez - 1 = 0 Rightarrow ez = 1
Então, o elemento neutro é (2, 2, 1). Vamos conferir se esse vetor está em pi:
2 + 2(2) - 1 = 2 + 4 - 1 = 5
Está certinho, então o elemento neutro pertence ao plano.

Passo 8

5. Existência do elemento inverso:
Para cada vetor (x, y, z) em pi, precisamos encontrar um vetor (-x, -y, -z) tal que (x, y, z) + (-x, -y, -z) = (2, 2, 1), que é o elemento neutro que encontramos.
Usando a definição de adição:
(x + (-x) - 2, y + (-y) - 2, z + (-z) -1) = (-2, -2, -1)
Mas o elemento neutro é (2, 2, 1), e não (-2, -2, -1). Isso significa que o inverso aditivo em relação a essa operação não traz de volta ao elemento neutro, mostrando que o elemento inverso não está funcionando como deve.

Passo 9

Conclusão:
Já que o elemento inverso não está satisfazendo as propriedades necessárias para um espaço vetorial, já podemos concluir que com essas operações, o plano pi não é um espaço vetorial.

Resposta

Com as operações definidas, o conjunto pi não forma um espaço vetorial.

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