No plano
considere as seguintes operações:
Verifique se com estas operações
é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto dos pontos que estão no plano
, com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da maneira que foi dada, forma um espaço vetorial. Ou seja, a gente precisa ver se essas operações obedecem às regras que definem um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial e checar um por um se eles funcionam com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada operação que foi dada. A adição de dois vetores
e
está definida como:
E a multiplicação por um escalar
está definida como:
Essas definições são um pouco diferentes das operações padrão de espaço vetorial, então a gente precisa ver se, mesmo com essas mudanças, podemos ter um espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos lembrar os axiomas de um espaço vetorial. Basicamente, a gente precisa checar se as operações de adição e multiplicação por escalar satisfazem as seguintes propriedades:
- Fechamento: A soma de dois vetores está no conjunto, e o produto de um vetor por um escalar também está no conjunto.
- Comutatividade da adição.
- Associatividade da adição.
- Elemento neutro: Existe um vetor zero que, quando adicionado a qualquer vetor, não muda o vetor.
- Elemento inverso: Para todo vetor, existe outro vetor que soma com ele dá o vetor zero.
- Compatibilidade da multiplicação por escalar:
. - Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
. - Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:
. - Multiplicação por escalar 1:
.
Vamos checar cada um desses axiomas com as operações dadas.
Passo 4
1. Fechamento sob adição e multiplicação por escalar:
Como estamos trabalhando no plano
, precisamos ver se, ao somar dois vetores do plano usando a operação dada, o resultado ainda pertence a
.
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
. Isso significa que:
A soma deles, segundo a operação dada, é:
Agora, vamos verificar se esse novo vetor satisfaz a equação do plano:
Então, a soma está no plano
.
Agora, para a multiplicação por escalar, tomamos um vetor
em
e um escalar
, e aplicamos a operação:
Vamos verificar se esse vetor está em
:
Então, o resultado também está no plano
.
Passo 5
2. Comutatividade da adição:
Vamos verificar se
.
Usando a definição de adição:
Claramente, as componentes são iguais porque a ordem de adição não altera o resultado. Então, a adição é comutativa.
Passo 6
3. Associatividade da adição:
Precisamos ver se
.
Vamos calcular cada lado usando a definição de adição:
Primeiro, o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Os dois lados são iguais, então a adição é associativa.
Passo 7
4. Existência do elemento neutro:
A gente precisa encontrar um vetor
tal que, para todo vetor
em
, a soma
.
Usando a definição de adição:
Isso implica que:
Então, o elemento neutro é
. Vamos conferir se esse vetor está em
:
Está certinho, então o elemento neutro pertence ao plano.
Passo 8
5. Existência do elemento inverso:
Para cada vetor
em
, precisamos encontrar um vetor
tal que
, que é o elemento neutro que encontramos.
Usando a definição de adição:
Mas o elemento neutro é
, e não
. Isso significa que o inverso aditivo em relação a essa operação não traz de volta ao elemento neutro, mostrando que o elemento inverso não está funcionando como deve.
Passo 9
Conclusão:
Já que o elemento inverso não está satisfazendo as propriedades necessárias para um espaço vetorial, já podemos concluir que com essas operações, o plano
não é um espaço vetorial.
Resposta
Com as operações definidas, o conjunto
não forma um espaço vetorial.