Sejam beta=e1, e2, e3 e beta^prime=f1, f2, f3 bases do R^3, onde beta é a base canônica e
f1=2 e1-2 e2-2 e3 f2=4 e2+6 e3 f3=6 e1+2 e3
b) Se u in R^3 apresenta coordenadas 1,2 e 3 em relação a beta, quais as coordenadas de u em relação a beta^prime ?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão de mudança de base em . A gente tem duas bases: a base canônica e outra base formada pelos vetores . A gente sabe as coordenadas de um vetor na base canônica e precisa encontrar as coordenadas dele na base .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudanças de base e resolver um sistema de equações. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter coordenadas diferentes em bases diferentes. Se u = 1e1 + 2e2 + 3e3 tem coordenadas u = a f1 + b f2 + c f3 na base canônica, isso quer dizer que:
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:

Passo 3

Vamos substituir os vetores f1 = 2e1 - 2e2 - 2e3 nas expressões:
f2 = 4e2 + 6e3
f3 = 6e1 + 2e3
1e1 + 2e2 + 3e3 = a(2e1 - 2e2 - 2e3) + b(4e2 + 6e3) + c(6e1 + 2e3)
Substituindo na equação de :

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
= a cdot 2e1 + a cdot (-2e2) + a cdot (-2e3) + b cdot 4e2 + b cdot 6e3 + c cdot 6e1 + c cdot 2e3
Agrupando os termos semelhantes:
= (2a + 6c)e1 + (-2a + 4b)e2 + (-2a + 6b + 2c)e3

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos vetores 2a + 6c = 1 -2a + 4b = 2 -2a + 6b + 2c = 3 de ambos os lados da equação:
Esse é um sistema de equações lineares que precisamos resolver para encontrar .

Passo 6

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
-2a + 4b = 2
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
- a + 2b = 1 Rightarrow a = 2b - 1

Passo 7

Agora, substituímos 2(2b - 1) + 6c = 1 na primeira equação:
4b - 2 + 6c = 1
4b + 6c = 3 Rightarrow 2b + 3c = 32

Passo 8

Também substituímos -2(2b - 1) + 6b + 2c = 3 na terceira equação:
-4b + 2 + 6b + 2c = 3
2b + 2c = 1 Rightarrow b + c = 12

Passo 9

Agora, temos um sistema com duas equações:
2b + 3c = 32 b + c = 12
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos isolar b = 12 - c :

Passo 10

Substituímos 2(12 - c) + 3c = 32 na primeira equação:
1 - 2c + 3c = 32
1 + c = 32 Rightarrow c = 32 - 1 = 12

Passo 11

Com b = 12 - 12 = 0 , voltamos na equação :

Passo 12

E agora, com a = 2(0) - 1 = -1 , usamos :

Resposta

As coordenadas de em relação à base são .

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