b) Se apresenta coordenadas 1,2 e 3 em relação a , quais as coordenadas de em relação a ?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa questão de mudança de base em . A gente tem duas bases: a base canônica e outra base formada pelos vetores . A gente sabe as coordenadas de um vetor na base canônica e precisa encontrar as coordenadas dele na base .
Para isso, vamos precisar usar conceitos de mudanças de base e resolver um sistema de equações. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter coordenadas diferentes em bases diferentes. Se tem coordenadas na base canônica, isso quer dizer que:
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Passo 3
Vamos substituir os vetores nas expressões:
Substituindo na equação de :
Passo 4
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos vetores de ambos os lados da equação:
Esse é um sistema de equações lineares que precisamos resolver para encontrar .
Passo 6
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
-2a + 4b = 2
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
- a + 2b = 1 Rightarrow a = 2b - 1
Passo 7
Agora, substituímos 2(2b - 1) + 6c = 1 na primeira equação:
4b - 2 + 6c = 1
4b + 6c = 3 Rightarrow 2b + 3c = 32
Passo 8
Também substituímos -2(2b - 1) + 6b + 2c = 3 na terceira equação:
-4b + 2 + 6b + 2c = 3
2b + 2c = 1 Rightarrow b + c = 12
Passo 9
Agora, temos um sistema com duas equações:
2b + 3c = 32 b + c = 12
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos isolar b = 12 - c :
Passo 10
Substituímos 2(12 - c) + 3c = 32 na primeira equação: