Verifique se a função dada é um produto interno.
b. lang<=rang<=:, R^3 R^3, lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1 x2+z1 z2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função dada é um produto interno. Estamos trabalhando com vetores em lang<= (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) rang<= = x1x2 + z1z2 e a função definida é:
Para resolver isso, precisamos lembrar o que caracteriza um produto interno. Basicamente, ele precisa satisfazer algumas propriedades específicas que vamos checar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno:
  1. Simetria:
  2. Linearidade no primeiro argumento:
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

1. Simetria:
Vamos trocar os vetores lang<= u, v rang<= = x1x2 + z1z2 e lang<= v, u rang<= = x2x1 + z2z1 na função:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Como a multiplicação é comutativa ( e ), temos:
Portanto, a simetria está satisfeita.

Passo 4

2. Linearidade no primeiro argumento:
Vamos verificar se a função é linear em relação ao primeiro vetor. Ou seja, para escalares lang<= a u + b w, v rang<= = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<= e vetores lang<= a u + b w, v rang<= = (a x1 + b x3)x2 + (a z1 + b z3)z2 :
= a x1x2 + b x3x2 + a z1z2 + b z3z2
Vamos calcular o lado esquerdo:
Se = a (x1x2 + z1z2) + b (x3x2 + z3z2) e = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<= , então
Aplicando a função:
Isso mostra que a linearidade no primeiro argumento também está satisfeita.

Passo 5

3. Positividade:
Vamos verificar se lang<= v, v rang<= = x1x1 + z1z1 = x1^2 + z1^2 para todo lang<= v, v rang<= = x1^2 + z1^2 >= 0 e se implica que .
Calculemos :
Sabemos que e , então:
Além disso, somente se e . No entanto, não aparece na função, o que significa que não garante que , já que pode ser diferente de zero.
Isso viola a condição de positividade, pois existem vetores diferentes de zero para os quais .

Resposta

Não, a função dada não é um produto interno porque não satisfaz a condição de positividade.

Exercícios relacionados

No plano pi: x+2 y-z=5 considere as seguintes operações:
& (x, y, z)+(x^prime, y^prime, z^prime):=(x+x^prime-2, y+y^prime-2, z+z^prime-1) & lambda(x, y, z):=(lambda x+(2-2 lambda), lambda y+(2-2 lambda), lambda z+(1-lambda))
Verifique se com estas operações pi é um espaço vetorial.
Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
a. T: R^2 R^2, T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z,-t).
Sejam beta=e1, e2, e3 e beta^prime=f1, f2, f3 bases do R^3, onde beta é a base canônica e
f1=2 e1-2 e2-2 e3 f2=4 e2+6 e3 f3=6 e1+2 e3
b) Se u in R^3 apresenta coordenadas 1,2 e 3 em relação a beta, quais as coordenadas de u em relação a beta^prime ?
Verifique se a função dada é um produto interno.
c. lang<=rang<=:, R^3 R^3, lang<=(x1, y1, z1),(x2, y2, z2)rang<==x1^2 x2^2+y1^2 y2^2+z1^2 z2^2.