Verifique se a função dada é um produto interno.
b.
.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função dada é um produto interno. Estamos trabalhando com vetores em
e a função definida é:
Para resolver isso, precisamos lembrar o que caracteriza um produto interno. Basicamente, ele precisa satisfazer algumas propriedades específicas que vamos checar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada um produto interno:
- Simetria:
- Linearidade no primeiro argumento:
-
- Positividade:
e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
1. Simetria:
Vamos trocar os vetores
e
na função:
Como a multiplicação é comutativa (
e
), temos:
Portanto, a simetria está satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade no primeiro argumento:
Vamos verificar se a função é linear em relação ao primeiro vetor. Ou seja, para escalares
e vetores
:
Vamos calcular o lado esquerdo:
Se
e
, então
Aplicando a função:
Isso mostra que a linearidade no primeiro argumento também está satisfeita.
Passo 5
3. Positividade:
Vamos verificar se
para todo
e se
implica que
.
Calculemos
:
Sabemos que
e
, então:
Além disso,
somente se
e
. No entanto,
não aparece na função, o que significa que
não garante que
, já que
pode ser diferente de zero.
Isso viola a condição de positividade, pois existem vetores diferentes de zero para os quais
.
Resposta
Não, a função dada não é um produto interno porque não satisfaz a condição de positividade.
Exercícios relacionados
No plano
considere as seguintes operações:
Verifique se com estas operações
é um espaço vetorial.
Verifique se o operador linear dado é diagonalizável.
a. .
a.
Sejam
e
bases do
, onde
é a base canônica e
b) Se
apresenta coordenadas 1,2 e 3 em relação a
, quais as coordenadas de
em relação a
?
Verifique se a função dada é um produto interno.
c. .
c.