Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (f) Se
e
, então necessariamente
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação "Se
e
, então necessariamente
" é verdadeira ou falsa. Isso envolve propriedades de matrizes, especialmente sobre a invertibilidade e o comportamento das matrizes não nulas. Para resolver, vamos analisar se sempre que multiplicamos duas matrizes por uma terceira matriz não nula e os resultados são iguais, então as duas matrizes originais devem ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade. Se
for invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação
por
para isolar
e
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
:
Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes:
Sabemos que
, então:
E como
é a matriz identidade:
Isso mostra que se
é invertível, realmente
deve ser igual a
.
Passo 4
No entanto, a questão apenas afirma que
, mas não garante que
seja invertível. Uma matriz não invertível é chamada de singular e isso pode acontecer mesmo se
. Se
for singular, pode existir
e
diferentes tais que
.
Passo 5
Vamos dar um exemplo para ilustrar isso. Considere a matriz
2x2:
Essa matriz não é a matriz zero e é singular porque o segundo linha é o dobro da primeira, ou seja, não tem inversa. Agora, vamos escolher duas matrizes
e
diferentes:
Calculando
e
:
Oops, nesse exemplo específico
. Vamos ajustar para garantir que
sem que
.
Escolha
e
:
Aqui,
mas
, confirmando que a afirmação é falsa.
Resposta
Falso. Por exemplo, seja
Aqui,
mas
.