Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (f) Se A neq 0 e A cdot B=A cdot C, então necessariamente B=C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação "Se e , então necessariamente " é verdadeira ou falsa. Isso envolve propriedades de matrizes, especialmente sobre a invertibilidade e o comportamento das matrizes não nulas. Para resolver, vamos analisar se sempre que multiplicamos duas matrizes por uma terceira matriz não nula e os resultados são iguais, então as duas matrizes originais devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Se for invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação por para isolar e .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por A^-1 cdot (A cdot B) = A^-1 cdot (A cdot C) :
(A^-1 cdot A) cdot B = (A^-1 cdot A) cdot C
Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes:
I cdot B = I cdot C
Sabemos que B = C , então:
E como é a matriz identidade:
Isso mostra que se é invertível, realmente deve ser igual a .

Passo 4

No entanto, a questão apenas afirma que , mas não garante que seja invertível. Uma matriz não invertível é chamada de singular e isso pode acontecer mesmo se . Se for singular, pode existir e diferentes tais que .

Passo 5

Vamos dar um exemplo para ilustrar isso. Considere a matriz A = 1 & 2 2 & 4 2x2:
B = 1 0 , C = 0 1
Essa matriz não é a matriz zero e é singular porque o segundo linha é o dobro da primeira, ou seja, não tem inversa. Agora, vamos escolher duas matrizes A cdot B = 1 cdot 1 + 2 cdot 0 2 cdot 1 + 4 cdot 0 = 1 2 e A cdot C = 1 cdot 0 + 2 cdot 1 2 cdot 0 + 4 cdot 1 = 2 4 diferentes:
2 -1
Calculando 0 0 e A cdot B = 1 cdot 2 + 2 cdot (-1) 2 cdot 2 + 4 cdot (-1) = 0 0 :
A cdot C = 1 cdot 0 + 2 cdot 0 2 cdot 0 + 4 cdot 0 = 0 0
Oops, nesse exemplo específico . Vamos ajustar para garantir que sem que .
Escolha e :
Aqui, mas , confirmando que a afirmação é falsa.

Resposta

Falso. Por exemplo, seja
A = 1 & 2 2 & 4 , B = 2 -1 , C = 0 0
Aqui, mas .

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