Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (f) Se e , então necessariamente .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação "Se e , então necessariamente " é verdadeira ou falsa. Isso envolve propriedades de matrizes, especialmente sobre a invertibilidade e o comportamento das matrizes não nulas. Para resolver, vamos analisar se sempre que multiplicamos duas matrizes por uma terceira matriz não nula e os resultados são iguais, então as duas matrizes originais devem ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Se for invertível, podemos multiplicar ambos os lados da equação por para isolar e .
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por :
Usando a propriedade associativa da multiplicação de matrizes:
Sabemos que , então:
E como é a matriz identidade:
Isso mostra que se é invertível, realmente deve ser igual a .
Passo 4
No entanto, a questão apenas afirma que , mas não garante que seja invertível. Uma matriz não invertível é chamada de singular e isso pode acontecer mesmo se . Se for singular, pode existir e diferentes tais que .
Passo 5
Vamos dar um exemplo para ilustrar isso. Considere a matriz 2x2:
Essa matriz não é a matriz zero e é singular porque o segundo linha é o dobro da primeira, ou seja, não tem inversa. Agora, vamos escolher duas matrizes e diferentes:
Calculando e :
Oops, nesse exemplo específico . Vamos ajustar para garantir que sem que .