: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Considere os campos vetoriais :
Calcule o trabalho do campo ao longo da projeção da fronteira de em , orientada negativamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um plano definido por que está restrito a um cone dado por . A orientação do plano está com os vetores normais apontando para baixo. Além disso, temos dois campos vetoriais e . O que precisamos encontrar é o trabalho feito pelo campo ao longo da projeção da fronteira de quando essa fronteira é projetada no plano , e com orientação negativa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e talvez o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a projeção da fronteira de no plano . A fronteira de é a curva onde o plano intersecta o cone . Para encontrar essa interseção, substituímos da equação do plano na equação do cone:
Simplificando essa expressão, podemos obter a equação da curva de interseção no espaço.

Passo 3

Agora, queremos projetar essa curva no plano . Isso significa que vamos “mover” a curva de interseção para o plano mantendo as coordenadas e iguais, mas definindo . A orientação negativa indica que devemos seguir a curva no sentido horário.

Passo 4

Com a curva de projeção definida, precisamos calcular o trabalho realizado pelo campo ao longo dessa curva. O trabalho é dado pela integral de linha de ao longo da curva :
Onde é o vetor deslocamento ao longo da curva.

Passo 5

Para facilitar o cálculo, podemos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada pela curva. Ou seja:
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 6

Calculamos o rotacional de :
Substituindo as componentes de e calculando as derivadas parciais necessárias.

Passo 7

Após encontrar , precisamos escolher uma superfície com fronteira . Uma escolha conveniente é a projeção da curva no plano , que é um círculo ou outra forma simples dependendo da interseção.

Passo 8

Calculamos o produto escalar onde é o vetor normal à superfície. Como estamos no plano , será na direção (para cima ou para baixo, dependendo da orientação).

Passo 9

Finalmente, integramos sobre a superfície :
Isso nos dará o valor do trabalho realizado pelo campo ao longo da curva projetada.

Resposta

O trabalho do campo ao longo da projeção da fronteira de em , orientada negativamente, é igual a .

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: A superfície limitada inferiormente pelo plano e superiormente por , orientada positivamente.
Seja V o volume da região limitada pela superfície . Calcule, em termos de , o fluxo do campo através de sua fronteira , orientada positivamente.
: O plano restrito ao cone , orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Seja a curva de fronteira de orientada positivamente de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido horário.
Mostre que a curva de fronteira está contida em um cilíndro.
O gráfico de é dado.Use-o para fazer o gráfico das seguintes funções:
Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões por . Para isso, devem-se cortar quadrados de lados de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura.
Expresse a área da superfície da caixa como uma função de .