S1 : O plano z=x2+2 restrito ao cone z^2=4(x+1)^2+4 y^2, orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Considere os campos vetoriais F, G: R^3 R^3 :
& F(x, y, z)=(e^x-2 z y^2,-e^x-2 z x y-4 z^2+4 z, 4 z y-4 y) & G(x, y, z)=(54 x y-2 x e^y z, x^2 z e^y z+8 x, cos (x y z))
Calcule o trabalho do campo G ao longo da projeção da fronteira de S1 em z=0, orientada negativamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um plano definido por que está restrito a um cone dado por . A orientação do plano está com os vetores normais apontando para baixo. Além disso, temos dois campos vetoriais e . O que precisamos encontrar é o trabalho feito pelo campo ao longo da projeção da fronteira de quando essa fronteira é projetada no plano , e com orientação negativa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e talvez o teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a projeção da fronteira de (x2 + 2)^2 = 4(x+1)^2 + 4 y^2 no plano . A fronteira de é a curva onde o plano intersecta o cone . Para encontrar essa interseção, substituímos da equação do plano na equação do cone:
Simplificando essa expressão, podemos obter a equação da curva de interseção no espaço.

Passo 3

Agora, queremos projetar essa curva no plano . Isso significa que vamos “mover” a curva de interseção para o plano mantendo as coordenadas e iguais, mas definindo . A orientação negativa indica que devemos seguir a curva no sentido horário.

Passo 4

Com a curva de projeção definida, precisamos calcular o trabalho realizado pelo campo Trabalho = ointC G cdot dr ao longo dessa curva. O trabalho é dado pela integral de linha de ao longo da curva :
Onde é o vetor deslocamento ao longo da curva.

Passo 5

Para facilitar o cálculo, podemos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada pela curva. Ou seja:
ointC G cdot dr = integral duplaS (nabla times G) cdot n , dS
Onde é o vetor normal à superfície .

Passo 6

Calculamos o rotacional de nabla times G = ( partial G3partial y - partial G2partial z, partial G1partial z - partial G3partial x, partial G2partial x - partial G1partial y ) :
Substituindo as componentes de e calculando as derivadas parciais necessárias.

Passo 7

Após encontrar , precisamos escolher uma superfície com fronteira . Uma escolha conveniente é a projeção da curva no plano , que é um círculo ou outra forma simples dependendo da interseção.

Passo 8

Calculamos o produto escalar onde é o vetor normal à superfície. Como estamos no plano , será na direção (para cima ou para baixo, dependendo da orientação).

Passo 9

Finalmente, integramos sobre a superfície Trabalho = integral duplaS (nabla times G) cdot n , dS :
Isso nos dará o valor do trabalho realizado pelo campo ao longo da curva projetada.

Resposta

O trabalho do campo ao longo da projeção da fronteira de em , orientada negativamente, é igual a .

Exercícios relacionados