: O plano
restrito ao cone
, orientado de forma que seus vetores normais apontem para baixo.
Considere os campos vetoriais
:
Calcule o trabalho do campo
ao longo da projeção da fronteira de
em
, orientada negativamente.
Considere os campos vetoriais
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um plano definido por
que está restrito a um cone dado por
. A orientação do plano está com os vetores normais apontando para baixo. Além disso, temos dois campos vetoriais
e
. O que precisamos encontrar é o trabalho feito pelo campo
ao longo da projeção da fronteira de
quando essa fronteira é projetada no plano
, e com orientação negativa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e talvez o teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a projeção da fronteira de
no plano
. A fronteira de
é a curva onde o plano
intersecta o cone
. Para encontrar essa interseção, substituímos
da equação do plano na equação do cone:
Simplificando essa expressão, podemos obter a equação da curva de interseção no espaço.
Passo 3
Agora, queremos projetar essa curva no plano
. Isso significa que vamos “mover” a curva de interseção para o plano
mantendo as coordenadas
e
iguais, mas definindo
. A orientação negativa indica que devemos seguir a curva no sentido horário.
Passo 4
Com a curva de projeção definida, precisamos calcular o trabalho realizado pelo campo
ao longo dessa curva. O trabalho é dado pela integral de linha de
ao longo da curva
:
Onde
é o vetor deslocamento ao longo da curva.
Passo 5
Para facilitar o cálculo, podemos usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada pela curva. Ou seja:
Onde
é o vetor normal à superfície
.
Passo 6
Calculamos o rotacional de
:
Substituindo as componentes de
e calculando as derivadas parciais necessárias.
Passo 7
Após encontrar
, precisamos escolher uma superfície
com fronteira
. Uma escolha conveniente é a projeção da curva
no plano
, que é um círculo ou outra forma simples dependendo da interseção.
Passo 8
Calculamos o produto escalar
onde
é o vetor normal à superfície. Como estamos no plano
,
será na direção
(para cima ou para baixo, dependendo da orientação).
Passo 9
Finalmente, integramos sobre a superfície
:
Isso nos dará o valor do trabalho realizado pelo campo
ao longo da curva projetada.
Resposta
O trabalho do campo
ao longo da projeção da fronteira de
em
, orientada negativamente, é igual a
.
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Seja V o volume da região
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Mostre que a curva de fronteira
O gráfico de
é dado.Use-o para fazer o gráfico das seguintes funções:
Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões
por
. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados
de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura.
Expresse a área da superfície
da caixa como uma função de
.