Plote os seguintes cones:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente plotar o cone definido pela equação
. Aqui, estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma que seja fácil de visualizar e depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação
. Isso representa uma superfície no espaço 3D. Como temos
igual a uma combinação de
e
, estamos lidando com um cone. Mais especificamente, é um cone duplo, que se estende para cima e para baixo a partir da origem.
Passo 3
Para facilitar a visualização, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Podemos dividir ambos os lados por 2:
Agora, podemos ver que a equação está na forma padrão de um cone:
Onde
determina a “abertura” do cone. No nosso caso,
, então
.
Passo 4
Sabendo disso, sabemos que o cone é sim��trico em relação ao eixo z e que a sua inclinação é determinada por
. Quanto maior o valor de
, mais “aberto” o cone fica. No nosso caso, como
, o cone tem uma abertura moderada.
Passo 5
Para plotar o cone, podemos seguir estes passos:
- Desenhe o eixo z verticalmente.
- No plano xy, desenhe círculos de diferentes raios para cada valor de
. - Como
, para cada , o raio do círculo no plano xy é . - Faça isso tanto para
quanto para , já que é um cone duplo.
Resposta
Prontinho! O gráfico da equação
é um cone duplo simétrico em torno do eixo z, com abertura determinada por
. Ele se estende infinitamente para cima e para baixo, formando uma superfície cônica no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Dados os complexos
e
; calcule:
.
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice
, utilizando as informações dadas:
© O ponto pertence à diretriz e o eixo
é o eixo de simetria.
© O ponto
Plote os seguintes elipsoides:
Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
(a)