Plote os seguintes cones:
z^2=2 x^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente plotar o cone definido pela equação . Aqui, estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma que seja fácil de visualizar e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Isso representa uma superfície no espaço 3D. Como temos igual a uma combinação de e , estamos lidando com um cone. Mais especificamente, é um cone duplo, que se estende para cima e para baixo a partir da origem.

Passo 3

Para facilitar a visualização, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Podemos dividir ambos os lados por 2:
z^22 = x^2 + y^2
Agora, podemos ver que a equação está na forma padrão de um cone:
z^2c^2 = x^2 + y^2
Onde determina a “abertura” do cone. No nosso caso, , então .

Passo 4

Sabendo disso, sabemos que o cone é sim��trico em relação ao eixo z e que a sua inclinação é determinada por . Quanto maior o valor de , mais “aberto” o cone fica. No nosso caso, como , o cone tem uma abertura moderada.

Passo 5

Para plotar o cone, podemos seguir estes passos:
  1. Desenhe o eixo z verticalmente.
  2. No plano xy, desenhe círculos de diferentes raios para cada valor de .
  3. Como , para cada , o raio do círculo no plano xy é .
  4. Faça isso tanto para quanto para , já que é um cone duplo.

Resposta

Prontinho! O gráfico da equação é um cone duplo simétrico em torno do eixo z, com abertura determinada por . Ele se estende infinitamente para cima e para baixo, formando uma superfície cônica no espaço tridimensional.

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Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar: as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, o comprimento da corda focal mínima e a equação da diretriz. Faça alguns esboços a mão livre.
(a) y^2-4 y+6 x-8=0